I forrige post regnet vi ut vesc og mengden drivstoff vi trenger for å nå den farten. Da så vi på et tilfellet som ikke inkluderte tyngdekraften, men kun kraft fra motoren. Nå skal vi se på en simulasjon som inkluderer tyngdekraften.
Vi har to krefter som virker på raketten, Gravitasjonskraften og kraften fra motoren. Newtons andre likning gir oss:
\begin{equation} ma = F_m - G \end{equation}
Hvor \(m\) er massen til raketten, \(F_m\) er kraften fra motoren, eller kraften fra hver enkelt motor ganger med antall motorer. Og \(G\) er gravitasjonskraften(\(mg\)).
så med hjelp av denne likningen får vi funksjonen til akselerasjonen:
\( a = \frac{F_m}{m} - g \)
\(g\) avhenger av avstanden fra planetens sentrum, denne vil minke ettersom raketten stiger. Men når vi beregner banen numerisk, regner vi for korte tidssteg \(\Delta t \)om gangen, i disse tidsperiodene vil akselerasjonen være så godt som konstant, vi kan derfor bruke
\( V_{i+1} = V_i + a_i \Delta t\)
\( r_{i+1} = r_i + V_i \Delta t \)
for å finne farten(\(V\)) og posisjonen(\(r\)) til raketten i hvert enkelt tidssteg. Vi må også oppdatere akselerasjonen for hvert steg, siden denne endrer seg når vi kommer lengre unna planeten. En annen ting som vil endres etterhvert som raketten skytes opp, er massen. Hver partikkel som forsvinner fra raketten bidrar til at raketten får mindre masse, dette fører til at akselerasjonen øker. I en tidligere blogg fant vi mengden drivstoff som brukes per sekund. Vi bruker denne til å oppdatere massen for hvert tidssteg.
\( m_{i+1} = m_i + D \Delta t \)
Når vi gjør disse utregningene, lager vi lange lister hvor vi lagrer alle verdiene. Det første leddet i listene er startverdien og det siste leddet i lista er sluttverdien. Ved å se på hvor mye hvert ledd endrer seg, ser vi endring for hver \(\Delta t \). Før vi kjører denne simulasjonen, trenger vi noen variabler. Jeg plotter inn disse verdiene til å starte med:
Nm (Antall motorer) = 100 milliard(\(10^{14}\))
Størrelse på åpningen til hver motor = L/2 (Sidene av åpningen er halvparten til lengden til boksen)
Mengde drivstoff = 1000 Kg
N (Antall partikler) = \(10^4\)
Før vi starter er det en ting til vi må passe på. Planeten vår roterer jo. Dette gjør at farten vil ha to komponenter. En komponent i radiell retning, altså en fart som øker radiusen fra planeten, og en komponent i tangentiell retning, en fart i retningen som er tangentiell på planetens overflate.
Den tangentielle farten vt kommer fra rotasjonen til planeten, og endres ikke siden det ikke er akselerasjon/krefter i den retningen. Mens den radielle farten vr kun kommer fra rakettens thrust.
Jeg kjører simulasjonen:
........................................ fart synker, aks = -8.0 \(\frac{m}{s^2}\), thrust = 3.98 KN
Hva? Thrust på kun 3.98 Kilo Newton? Ifølge mine beregninger trenger man en thrust på over 20 Kilo Newton(som er gravitasjonskraften). Jeg kan prøve å minke størrelsen til åpningen, kanskje partiklene får en større kraft komponent i z-retning som fører til høyere kraft? Jeg prøver å minke åpningen ned til L/10:
....................................... fart synker, aks = -7.6 \(\frac{m}{s^2}\), thrust = 4.66 KN
Klarte å øke thrusten med omtrent 18%, men for å få den akseptabel høy, må den kanskje være 10 ganger større. Jeg kan prøve å øke antall motorer til 500 milliard (\(5 \cdot 10^{14}\)), Raketten vil da bli betraktelig mye større, men vi skal jo tross alt fly gjennom et solsystem, så en litt større rakett kan være godt for oss. Jeg kjører simulasjonen igjen:
.......................................
tomt for drivstoff!
fart ved tom tank: 9600 m/s, 0.89 v_esc
thrust = 22.83 Kilo Newton
Dette lover bedre! Vi har nå en thrust på over 22 Kilo Newton, dette er nok til å få oss oppover. Det eneste nå er at vi går tom for drivstoff. Vi er ikke langt unna utslippnings hastigheten, men vi trenger litt margin å gå på, samt nok drivstoff til videre ferd. Vi må også huske at når vi legger til mer drivstoff, blir raketten tyngre og trenger derfor enda mer drivstoff. Jeg prøver å endre mengde drivstoff fra 1000 til 4000 Kilogram:
.......................................fart synker, aks = -5.32 \(\frac{m}{s^2}\), thrust = 23.17 KN
Så nå har vi alt for lite thrust igjen... okey, ikke mist motet nå, dette kan vel fikses?
Jeg prøver med 2000 milliarder motorer:
.......................................
Suksess!!
Du har nå nådd utslippningshastigheten etter 11.9 minutter!
Thrust = 90 Kilo Newton
Akselerasjon på slutten av simulasjonen: 25.55 \(\frac{m}{s^2}\)
Gjennomsnittsakselerasjon på 15.0 \(\frac{m}{s^2}\)
Drivstoff som gjenstår: 1948 Kg
Avstand fra planetens sentrum ved slutt av simulasjonen: 8913 kilometer
Fart på rakett = 0.407 km/s i tangentiell retning, og 10.73 km/s i radiell retning
Dette er helt fantastisk! Med nesten 2000kg fuel igjen har vi mulighet til mye romferd om det skal trengs, og akselerasjonen på 25 m/s2 tilsvarer ca 2,5 G, så det er helt overkommelig!
Du ser kanskje mengden motorer vi har nå er kanskje litt i overkant mange, og kanskje ikke mulig å få bygget med robotene og utstyret vi har tilgjengelig. Mengden fuel vi har med nå er bare et gjett, så om vi finner ut at vi trenger mindre fuel kan vi og senke mengden motorer. I tillegg kan vi øke temperaturen inne i motoren slik at hver lille motor yter mer thrust, og da kan vi også senke mengden motorer. Om dette blir et problem finner vi vell ut fort nok.