Gas, gas, gas!

Hvorfor gass?

Når vi skal bygge en motor for å drive raketten framover, må vi se til noen basis-prinsipper. I motsetning til de fleste andre kjøretøy trenger vi å ha en kraft til å drive raketten i en vilkårlig retning.  I en bil er det den elesktirkse eller fossile motoren som roterer hjulene som igjen dytter fra bakken for å drive seg selv fremover. Desverre er det ingen bakke i verdensrommet. Det er faktisk ingenting å skyve fra der ute! Det er et problem fordi Hornfels lingninger (noe vi tror korresponderer til Newtons ligninger i tegnene til romsonden) sier at kraften et objekt tilfører et annet er det samme som motkraften den får tilbake. Matematisk sett, blir det:

  \( \vec{F_1} = -\vec{F_2} \) 

der \(F_1\) og \(F_2\) er kraften to objekter opplever. Minustegnet viser oss at kraften på det første objektet virker motsatt vei av det andre objektet. Det vil si at når for å skape kraft i verdensrommet, må vi ha minst to objekter, vi må skyve noe fra oss. Det er her gassen trer inn! En gass består av mange små partikler som flyr rundt med høy hastighet. Ved å lage en boks fylt av gass med et lite hull, for å dereter skyte ut disse partiklene bakover, får vi en motkraft som skyver oss fremmover. 

Du lurer da kanskje på hvordan gassen dytter oss fremover når den skytes bakover, siden en partikkel som unslipper rører jo ikke raketten. Kraft-overføringen skjer faktisk inne i motoren! Når gasspartikkelen kræsjer i veggen til motoren, skyver partikkelen på motoren, og motoren på partikkelen, slik at den spretter av veggen. Vanligvis flyr partikkelen da til andre siden av motoren og dytter der, slik at den totale kraften blir null. Men når partikkelen skytes ut, så kan den ikke lengre skyve raketten, så den gir en s

Gaussiske fordelinger og kraften til motoren

For å beregne hvor mye kraft rakett-motoren vår kommer til å gi, må vi beregne den gjennomsnittlige hastigheten til en partikkel i gassen, da den deriverte av bevegelsesmengden gir oss kraften. Det viser seg at sansynligheten for hastighetene er Gausisk, også kalt normalt, fordelt. Men hva er en Gausisk fordeling, og hvorfor dukker den opp så ofte at vi også kaller den normalfordelingen? 

Grunnen til at normalfordelingen dukker opp overalt er en konsekvens av det som kalles "Central Limit Theorem" (CLT) eller "Sentralgrenseteoremet". Det teoremet sier er at gjennomsnittet av gjennomsnittene, eller forventningsverdien, (også kalt \( \mu \) ) av verdier som ikke nødvendigvis er normalfordelt, blir normalfordelte, gitt at vi tar mange gjennomsnitt av gjennomsnitt. Dette kan vi overbevise oss selv om ved å tenke at gjennomsnittet til alle verdiene i en fordeling alltid blir den samme verdien. Hvis du tar alle hele tall mellom en og ti, får du alltid et gjennomsnitt på 5,5 uansett hvor mange ganger du beregner det. Når du nå bare tar en del av, men ikke alle, verdiene vil gjennomsnittet variere fra gang til gang, men de vil variere om 5,5!  Nå trenger vi en kontinuerlig utvalg av verdier for at CLT skal gjelde, men det gir oss et godt bilde på hvordan den fungerer.

Da er neste spørsmål, hvor mye varierer gjennomsnittene? Den verdien er gitt ved noe vi kaller standard avvik ( \( \sigma \) ). Dette definerer vi slik at hvis du tar uendelig mange utvalg, kommer 95% av de til å ligge innenfor \( \mu ± 2 \sigma \). Med andre ord er 95% av arealet mellom \( \mu + 2 \sigma \) og \( \mu - 2 \sigma \) Dette betyr at hvis \( \sigma \) er stor, så er også variasjonen i verdiene du får store. 

Det at CLT gjelder for mange forskjellige fordelinger, gjør at vi finner normalfordelingen overalt, både naturen, i hearthianskapte ting (eller menneskeskapte som folket som sendte romsonden ville sagt), og i vårt tilfelle, i gass! 

Videre kommer ting til å bli litt mer matematiske, men vi skal hoppe over deler av utregningen, og forklare de nødvendige bitene. For de som er interessert i disse, blir de lagt til som en egen bloggpost på slutten av hver blogg-syklus (de som ga oss midler har også satt frister for når ting skal være ferdig. Grøss.) Vi starter med den matematiske formuleringen av normalfordelingen:

\( P(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}} e^{- \frac{(x-\mu)^2}{2 (\sigma)^2 }} \) 

Den kan se litt skummel ut, men den bruker kun konsepter vi har snakket om tidligere. Denne formelen gir oss sansynligheten for at en verdi er innenfor et lite interall rundt x. \( x-\mu \) er forskjellen mellom forventingsverdien (tenk 5,5) og intervallet vi skal sjekke. Grunnen til at dette må være et intervall er at sannsynligheten for en verdi innenfor et intervall er det samme som arealet under grafen for det intervallet, altså den integrerte. Hvis du ser på et punkt istedefor et intervall, er arealet under punktet lik 0, siden den ikke har noen bredde og dermed sannsynlighet lik null. 

Nå kan vi bruke dette på gass! 

I en lukket boks som står i ro, vil systemets totale kraft være lik null, også kjent som Hornfelds (newtons) første lov. Dette gjelder også når boksen er full av gass. For at dette skal være sant, må gasspartiklene ha gjennomsnitlig null hastighet i hver retning. Det betyr ikke at partiklene ikke har hastighet, men at når en partikkel har fart i positiv x-retning, må en annen partikkel ha like stor fart i negativ x retning. Hvis dette ikke er tilfelle, begynner massesenter å bevege på seg meg konstant hastighet gitt ved den samlede energien i en av retinigene.

En annen måte å se at de interne hastighetene må være lik null er å se at det ikke er noen ekstern kraft, altså ingen akselerasjon fra perspektivet til massesenteret.Dermed blir \( \mu_x = 0\). Ut i fra det, kan vi sette opp fordelingen for hastighetene på komponentform:

\(P(v_x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}}e^{ - \frac{ {v_x}^2 }{2 \sigma^2}} \) 

der \( v_x - \mu_x = v_x\). Nå er det bare en bit vi mangler for å kunne finne fordelingen for hastigheten, nemlig sigma. Da bruker vi sigmaen Boltzmann har funnet for Ideelle gasser. Med ideell gass gjør to antagelser: at partiklene ikke kolliderer i hverandre, og at det er fullstendige elastiske støt mot veggene i boksen gassen er i. Fullstendig elastisk betyr at den kinetiske enrgien til partikkelen er bevart.  Fullstendige elastiske støt er en god tinærming i dette systemet, ettersom at det kun er de elektriske kreftene mellom partiklene og veggen som spiller inn, og dette er konservative krefter (altså, krefter som bevarer energi) slik at de vil oppføre seg tilnærmet lik klinkekuler. En konsekvens av dette er at vinkelen til partikkelens hastighet har lik vinkel med veggen før og etter, siden vi kun har snudd hastigheten i en av komponent-retningene. Da får vi at \( \sigma = \sqrt{\frac{kT}{m}} \), der T er temperaturen til gassen, m er massen til de individuelle partiklene og k er Boltzmanns konstant. Vi antar at hastighetene i komponentretningene er uavhengige. Dette er en god antagelse, for det er ingen fysisk grunn til at x-komponenten i en boks skal være avhenigig av y-komponenten. Dermed må vi gange komponentene sammen for å finne sansyneligheten. Dette er samme situasjon som den vi er i når vi kaster kron eller mynt. Sannsyneligheten for tre kron på rad er \(p(kron) \times p(kron) \times p(kron) \). På samme måte er:

\(P(\vec{v}) = P(v_x) P(v_y) P(v_z) \)

\(P(\vec{v}) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}}e^{ - \frac{ {v_x}^2 }{2 \sigma^2}} * \frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}}e^{ - \frac{ {v_y}^2 }{2 \sigma^2}} * \frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}}e^{ - \frac{ {v_z}^2 }{2 \sigma^2}} \) 

\(P(\vec{v}) = (\frac{m}{2 \pi k T})^{3/2}e^{ - \frac{m ( {v_x}^2 +{v_y}^2+{v_z}^2 ) }{2kT}} \) 

\(P(\vec{v}) = (\frac{m}{2 \pi k T})^{3/2}e^{ - \frac{mv^2 }{2kT}} \) 

Forskjellen mellom denne fordelingen og normalfordelingen er at alle negative verdier har blitt positive (pga \(\vec{v}^2\). Denne fordelingen vil ha skarp vekst i starten, så gradvis gå lavere og lavere. Det som er viktig å merke seg er at \( P(0) = 0 \). Sagt med ord: sjangsen for at v er spesifikt null, er null. Det er en direkte konsekvens av det vi snakket om tidligere, at sjangsen for at v er en spesifik verdi er null, og null er en spesifik verdi. Derfor ser denne fordelingen slik ut:

Legg merke til at kurven går mot null, men når aldrig null. Det er fordi en partikkel kan være "heldig" og bli dyttet på rett måte, slik at den får stor fart. Du kan ha merket at de at sannsyneligheten aldrig når null er ikke helt rett ettersom lysets hastighet er en maks hastighetsgrense, men for de temperaturene vi har med å gjøre er ikke det et problem.

Når vi skal løse for absoluttverdien til v, må vi bruke MaxwellBoltzmann fordelingen. Dette integralet er litt forskjellig, da den tilføyer \( 4\pi \) v² til enden av funksjonen. Tidligere snakket vi om at sannsynligheten for at hastigheten er innenfor et intervall \( \Delta v \) er lik arealet under grafen for det intervallet, eller med andre ord, integralet. Hvis vi bare løser MaxwellBoltzmann-integralet i seg selv fra null til uendelig, blir svaret 1, ettersom at en partikkel har en 100% sjangse å ha en eller annen v. Så for å finne gjennomsnittsverdien, må vi integrere:

\( ⟨v⟩ = \int_{0}^{\infty} v P(v) dv\) 

Integralet her er litt vanskelig, så vi skal hoppe over noen av stegene. For de spesielt interesserte, ligger hele utledingen nederst i innlegget. For å løse dette bruker vi u-substitusjons der \( u = - \frac{1}{2} \frac{mv^2}{kT} \). Dette gir oss resultatet

\( ⟨v⟩ = \sqrt{\frac{8Tk}{\pi m}} \)

der T er temperaturen, k er Boltzmanns konstant og m er massen. Fra resultatet kan vi utlede at gjennomsnittshastigheten til partiklene øker med temperaturen og senkes av massen. Dette blir nyttig når vi skal sjekke teste simulasjonene våre mot  senere skal velge hvilken gass vi skal fylle raketten med. 

I tillegg til gjennomsnittshastigheten, vil vi finne gjennomsnitts-energien til partiklene, da vi kan bruke dette til å hjelpe verifiseringen av simulasjonene våre, og for å potensielt finne andre måter å finne gode gasskandidater på. Ved idéell gass har partiklene ingen indre energi, slik at \( ⟨E_{kinetisk}⟩ \) er den totale energien i systemet. Fordi \( ⟨v⟩^2 \neq ⟨v^2⟩ \), kan vi ikke direkte sette den gjennomsnittlige hastigheten inn i formelen for kintisk energi. Vi det samme integralet som tidligere, men vi ganger med \( v^2 \) slik at integralet blir:

\( P(v^2) = \int_{0}^{\infty} v^2 P(v) dv\) 

Denne løser vi også via u-sub, denne gangen med \( u = \frac{1}{2} \frac{mv^2 4 \pi}{kT} \). Hovedforskjellen mellom de to løsningene er v mot v², men etter en del utregning, får vi:

\(⟨E_{kinetisk}⟩ =  \frac{3}{2} kT \)

der n er antall partikler delt på volumet. Dette uttrykket sier at forventningsverien til partiklenes energi øker lineært med temperaturen i boksen, noe som vi forventer fordi temperatur er ett annet mål på hvor mye energi mange små partikler har. Nå har vi en god basis å simulere fra, men vi har fortsatt ingen mulighet for å finne en verdi for kraften som raketten vil gi oss analytisk. Det kan hende simulasjonen har rett hvis den sier at ti partikler gir oss nokk kraft til å sprenge planeten! Ok, kanskje det er åpenbart feil, men vi har ingen referanser for hvor mye kraft vi skal få. Dermed er det neste (og siste) steget vårt.

For å finne kraften, må vi finne et uttrykk for trykket. Men hva er det som skaper trykkraften? Kraften kommer av alle partiklene som kolliderer i veggene!  Når en partkkel kolliderer i en vegg, vil den sprette tilbake med samme hastighet ut som den kolliderte med. Dermed er endringen i bevegelsesmengde \( 2p \). Hvis endringen i bevegelsesmengden hadde vært \( p \), hadde partikkelen bare stoppet helt opp og blit liggende i ro, da \( p-p=0 \). Herfra til trykket kan bli litt matematisk, men det er hovedsakelig pluss, minus, gange og deling. Hvis du vil er det bare å hoppe over de neste tre avsnittene. 

Kraften også kan beregnes ved \( f = p'(t) \approx \frac{\Delta p}{\Delta t}\), der \( \Delta p \) er endringen i bevegelsesmengde og \( \Delta t \) er et lite tidssteg. Nå er kraften tidsavhenging, men kraften vil jo være uavhengig av tiden, siden det vil være ca like mange partikler som kolliderer i hver vegg pr sekund. Vi kan konvertere fra \( \Delta t \) til \( \Delta x \) (fordi \( t = x/v_x \) ), og finner ut at :

\( f  \approx \frac{v p}{3 \Delta x}\)

Tallet 3 kommer fra konverteringen fra \( v_x \) til v og \( p_x \) til p, fordi gjennomsnittet i alle tre retningene er like, må da \( v_x =\frac{1}{\sqrt{3}} \vec{v} \) og det samme for \( p_x \). For å nå komme til trykket, ser vi nå på to fordelinger, en for sannsyneligheten til bevegelsesmenden for alle partiklene i gassen, N(p), og en for sannsyneligheten til bevelsesmengden per volum, n(p). Volumet av boksen vår er areal ganger lengde, der lengden er \( \Delta x \).  Da får vi et liten del av kraften (dF) er gitt ved:

\( dF  = \frac{v p}{3 \Delta x} N(p) dp = \frac{1}{3} v p n(p) A dp  \)

Fordi trykket er gitt ved kraft over areal, får vi et integral for trykket:

 \( P = \int_{0}^{\infty} \frac{1}{3} v p \space n(p) dp  \)

Her kan vi gjøre flere lure triks. Først har vi har to forskjellige variabler, v og p. Siden vi er interessert i bevegelsesmengden, gjør vi om boltzmann-integralet fra v til p. Det viktige å merke her er at siden et integral er en sum av fuksjonsverdiene til en variabel, må vi også endre hva vi summerer over. Ett veldig tydelig eksempel av dette er å skifte variabel fra x til y. Da må vi gjøre slik at \(dx = f dy \). I dette tilfelle går vi fra v til p, så   \(dv = \frac{dp}{m} \). Slik får vi:

\(P = \frac{n}{3} \int_{0}^{\infty} \frac{p^2}{m}(\frac{1}{2 \pi k T})^{3/2}e^{ - \frac{1}{2} \frac{p^2 }{mkT}} 2\pi p^2 dp \) 

der vi trekker ut n fordi den er en konstant som beskriver partikkeltetthetten. Løsningen av dette bruker samme metode som \(⟨E_{kinetisk}⟩ \) integralet, altså substituerer \(u= \frac{1}{2} \frac{p^2 }{mkT}\) for deretter å uttrykke p med u, og sette det inn i integralet. Dette gås også nærmere inn på i vedlegget. Dermed får vi direkte svaret på trykket, og dermed kraften! Løsningen blir det elegante svaret:

 \( P = nkT \)

 \( F = A \space nkT \)

der A er arealet på overflaten vi måler, for eksempel den ene siden av boksen. Her kan vi se at trykket, og dermed kraften, ikke bare er avhengig av temperaturen, men også partikkelthettheten og størrelsen på hullet! En ting vi må være var på er at vi nå har antatt at endingen i p er dobbelt så stor som p når den kræsjet, men hvis den stikker ut via åpningen i motoren, vil den kun stikke av med en bevegelsesmengde p, og ikke 2p! Det gjør at raketten, på grunn av bevaring av bevegelsesmengde, må ha halparten av uttrykket vifant tidligere, slik at hvis og bare hvis A er arealet til hullet i motoren, får vi:

 \( F = \frac{1}{2} AnkT \)

Nå har vi et godt grunnlag for å starte både byggingen og simuleringen av rakkettmotoren! La oss håpe ingenting sprenger...

Appendiks med integraler:

\(\langle V \rangle\) integral:

Ideel gas lov integral:

\(\langle V² \rangle\) integral: