Stoppable force vs movable object

Nå som vi har en klasse vi kan importere til andre filer for simulasjonen, kan vi bruke den direkte for å sjekke hva slags parametere vi trenger for raketten vår!

En av de viktigste parameterene å sjekke er unnslippningshastigheten! Unnslippningshastigheten er hastigheten vi må ha i punktet vi befinner oss i for å "unslippe" gravitasjonen til objektet. For å løse dette, starter vi ved å sette den potensielle energien lik null uendelig langt borte fra planeten. Det betyr at den potensielle energien er negativ! I seg selv er dette ikke ett problem, tvert imot, fordi den potensielle energien er alltid avhengig av et referansepunkt og da kan vi velge ett som er gunstig for oss. Tenk deg at du vil måle høyden til noe innendørs. Du kan putte referansepunktet ved havet og si at objektet du måler er x meter over havet, men det gjør det ikke like lett å forstå hvor høy en hylle er! I gravitasjons-tilfellet, vil vi ha referansepunktet uendelig langt unna for det betyr at når den kinetiske energien pluss den gravitasjonelle energien blir null, har vi nokk hastighet til akkuratt å aldrig falle tilbake til planeten. Mattematisk blir det:

  \( E_k + E_{p} = 0 \) 

\( \frac{1}{2}mv^2 = \frac{GMm}{d} \)

\( v^2 = \frac{2GM}{d} \space \Rightarrow \space v = \sqrt{\frac{2GM}{d}} \)

Her er G gravitasjonskonstanten, M er massen til planeten, m er massen til raketten, v er hastigheten til raketten, og d er avstanden fra planetens massesenter til raketten. Ut ifra at det er energier vi snakker om, så spiller ikke retningen noen rolle. Det er lettere å se at dette stemmer hvis du ser for deg at du lager ett hull gjennom planeten, og skyter ut noe ved unnslipningshastigheten gjennom planeten. Gitt ingen luftmotsand vil den fortsette ut andre siden, for å så unnslippe. Siden unnslipningshastigheten varierer med posisjonen, må vi oppdatere dette iløpet av oppskytningen. Dermed kan vi sjekke for når raketten vår har nok hastighet til å unslippe.

I vårt tilfelle blir unnslippningshastigheten fra overflaten ~8600 m/s, i forhold til  ~11 000 m/s til beboerene til planeten fra romsonden.

Det neste steget er å simulere oppskytningen. For å gjøre dette kan vi bruke en veldig nyttig ting som lar oss numerisk integrere simulasjonen, ved å gradvis oppdatere først aksellerasjonen, deretter hastigheten, og til slutt posisjonen vår. Idéen bak er å tilnærme at for et veldig lite tidssteg \( \Delta t \), så er akselerasjonen, hastigheten og posisjonen konstante, slik at vi tilnærmer oss lineær bevegelse. Dette er en god approximasjon, fordi på en hundrededel av ett sekund så har raketten ikke bevegd seg spesielt langt, som gjør akselerasjone ca. konstant. I dette tidssteget har heller ikke hastigheten endret seg mye, så posisjonen endrer seg kun med \( v \Delta t  \). Dermed kan vi bruke definisjonene på akselerasjon, hastighet og posisjon, og får at for tidssteg i, blir:

\( a_{i+1}= F_{rakettmotor} - G \)   \( v_{i+1} = v_i +a_{i+1} \Delta t  \)   \( r_{i+1} = r_{i} +v_{i+1} \Delta t  \)

der r er posisjonen og G er gravitasjonskraften. Her bruker vi akselerasjonen for det neste tidssteget for å beregne hastigheten, da den bevarer hastigeten bedre fordi \( v_i \) henger litt bak (pga antagelsen vår av konstant v ila  \( \Delta t \) ), men ved å ta akselerasjonen til neste tidssteg gjør opp for mye av unøyaktigheten. Dermed kan vi løse problemstillinger vesentlig enklere enn analytisk. Denne metoden kalles Euler-Cromer metoden. Men vi skulle gjerne hatt en idé om hvor my drivstoff vi trenger...

Her kommer rakettligningen inn! Den tar utgangspunkt i hvor fort man skyter partiklene bakover, og finner hvor mye drivstoff man trenger å bruke for å endre hastigheten. Hoved idéene bak denne er at kraft er lik endringen i driv (mv) over tid. Hvis vi også antar at det ikke er noen eksterne krefter (for eksempel en rakett i fritt fall), så kan vi flytte rundt på ting, og få:

\(m_f = m_0 e^{\frac{\Delta V}{v_e}}

der \( m_f \) er massen til drivstoffet, \( m_0 \) er den totale massen til raketten, \( \Delta V \) er den totale endringen i hastighet, og \( v_e \) er hasigheten til partiklene som blir skutt ut bakover (for dere interesserte i utledingen, finnes den her ). Denne ligningen sier rett og slett at gitt hvor fort vi kaster en ting bakover ( \( v_e \) ), hvor mye av totalmassen vår trenger vi å kaste for å komme til ønsket hastighet? Fordi denne ligningen forteller oss mengden drivstoff vi trenger, er dette et godt minimumspukt for å sjekke om vi har nokk drivstoff.

For å simulere rakettoppskytningen, må vi finne vår posisjon relativt til både planeten og til solen. Til dette kan vi definere koordinatsystemet for å være mest mulig gunstig for oss, altså at x-aksen er en rett linje som går gjennom solen, planeten og satelitten. Derfra kan vi finne avstanden fra planetens kjerne til raketten ved å minuse de fra hverandre og legge til planetradiusen. Det er denne verdien vi bruker når vi beregner gravitasjonskraften, altså den relative posisjonen. Når vi kjører Euler-Cromer-metoden, så oppdaterer vi posisjon, hastighet og akselerasjon i forhold til solen, men gravitasjonen er beregner med den relative avstanden.

Nå som vi har en del parametre, som å sjekke unnslippningshastigheten, posisjonen i forhold til stjernen, og en minimumsmengde drisvstoff, stiller vi inn simulasjonen og kjører den. De første par ganger hadde vi for lite kraft, men vi økte temperaturen til \( 3.5 \dot 10³ \) for å simulere det å legge på en kjegle, da begge vil gi økt kraft på lik mende partikler. Vi økte også mengden partikler til \( 10⁶ \), som er noe vi har kontroll over i den fysiske verdenen. Dermed fikk vi en simulert oppskytning som sa at vi kom til unnslippningshastigheten etter 504 sekunder, omtrent 8 minutter, med full akselerasjon, som er en verdi som gir fysisk mening. Den mente også at vi skal ha akkuratt nokk drivstoff til å nå verdensrommet. Parameterene vi brukte for å regne de forskjellige tingene er gitt i en tabell som er lagt ved.

Så da bygde vi raketten! Vi tok det beste tømmeret vi fant som store hydrogentanker (dette vil aldri føre til noen problemer), satte satelitten på toppen og trykket launch! Oppskytningen var spennende, men raketten overlevde. når den kom til verdensrommet derimot, var den et godt stykke fra der vi forventet at den skulle være. Heldigvis har vi fortsatt kontroll over den, og den har en litt drivstoff til overs, slik at vi kan manøvrere den senere. Det vil vi kalle en suksess!!

Tabell: