Du husker forhåpentligvis at vi snakket om unnslipningshastighet i forrige blogginnlegg. I dette steget blir denne viktig! Målet med oppskytningen av raketten vår er å komme ut i verdensrommet, men hva mener vi egentlig med det?
Vi definerer at vi har nådd verdensrommet når hastigheten til raketten er like stor som unnslipningshastigheten til planeten vår. Når dette kravet er oppnådd, vil vi si at oppskytningen er vellykket! Nå må vi også tenke tilbake til forrige blogginnlegg, hvor vi snakket om dekomponering av vektorer. Farten til raketten vår er delt inn i to komponenter: \(\vec{v_x}\) og \(\vec{v_y}\). I virkeligheten er denne delt inn i tre ulike komponenter, men akuratt nå forenkler vi situasjonen slik at det kun er to. Så – når vi sier at farten til raketten skal være lik unnslipningshastigheten, mener vi egentlig at absoluttverdien til \(\vec{v_x} + \vec{v_y}\) skal være lik unnslipningshastigheten! Men hva er egentlig \(\vec{v_x}\) og \(\vec{v_y}\) til raketten vår? For å finne ut av dette må vi først ta en titt på noen andre avstander.
Hvis du ser på figur 1, kan du se at vi har laget et eget koordinatsystem som vi kommer til å bruke. Når raketten blir oppskutt, sier vi at dette skjer fra posisjonen (0, r), hvor r er radiusen til planeten vår fra massesenteret. Vi velger nøyaktig dette punktet for å gjøre beregningene våres lettere, men om vi hadde hatt lyst kunne vi fint valgt et annet punkt! Vi skyter med andre ord opp raketten parallelt med x-aksen. En annen ting vi også må huske på, er at planeten vår roterer. Vi velger da også koordinatsystemet vårt slik at planeten roterer mot klokka. Så, når vi står på startpunktet vårt, vil planeten ha en rotasjon i positiv retning langs y-aksen.
La oss gå tilbake til hastighetskomponentene til raketten. I utgangspunktet så er det intuitivt å tenke at både x -og y komponenten er lik null. Fordi før vi har skutt opp raketten, så har den jo ikke noe fart? Ikke sant? Det viser seg å ikke stemme! Vi har nødt til å ta i betraktning den lille farten rotasjonen til planeten gir oss! Denne farten kalles vinkelhastigheten til rotasjonsbevegelsen, og er et mål på hvor raskt en vinkel endrer seg over tid.
Se for deg at du står på en snurre-huske på en lekeplass. En sånn som går skikkelig fort rundt og rundt. Har du noen gang forsøkt å hoppe av en sånn huske mens den fortsatt roterer? Dersom du har gjort det, har du nok lagt merke til at det er umulig for deg å hoppe rett utover fra huska! I det du hopper av huska, vil rotasjonsfarten til huska følge deg helt til du treffer bakken igjen. Dette er det som skjer med raketten vår, i det vi forlater planetens overflate!
Når vi står på startposisjonen vår, kommer vinkelhastigheten til å peke nøyaktig parallelt med y-aksen. Dette er fordi vinkelhastigheten virker tangentielt på rotasjonen av planeten! Vi kan finne vinkelhastighet på samme måte som vi finner «vanlig» hastighet, nemlig å dele avstand på tid! Avstanden i dette tilfellet er en sirkelskive, og tiden er perioden til planeten! Perioden til planeten vår forteller oss hvor lang tid det tar før planeten har rotert én hel gang rundt sin egen akse. I matematikken skriver vi dette som \(\omega = \frac{2 \pi}{T}\), hvor \(\omega\) er vinkelhastigheten og T er perioden. Vinkelhastigheten i dette uttrykket har enhet radianer per sekund. For å finne hastigheten i meter per sekund, multipliserer vi vinkelhastigheten med radiusen til planeten! Planeten vår har en periode på 1.075 dager, det betyr at planeten bruker 1.075 dager på å rotere en gang rundt sin egen akse. Dette er altså lengden på døgnet! Når vi setter dette inn i formelen for vinkelhastighet, er det viktig at vi konverterer enheten fra dager til sekunder!
\(\omega = \frac{2\pi}{1.075\cdot 24 \cdot 60 \cdot 60}\)
\(\omega \approx 650 m/s\)
Dette betyr at per sekund vi står på overflaten til planeten, så beveger vi 650 meter langs rotasjonsaksen! Det er viktig å bemerke at dette kun gjelder ved ekvator til planeten.
Denne vinkelhastigheten er altså \(\vec{v_y}\) komponenten vår! \(\vec{v_x}\) komponenten vil ved starttidspunktet være null.
For å kunne simulere oppskytningen er det også viktig at vi har kontroll på kreftene som virker på raketten vår! Den eneste kraften som egentlig virker på raketten vår, er gravitasjonskraften fra planeten vår, og kraften som motoren vår genererer. Vi er fra før vandt til å skrive gravitasjonskraften som \(\vec{G} = m\vec{g}\), men det duger ikke lenger i dette scenarioet! Denne formelen er faktisk en forenkling av den litt mer kompliserte generelle formel for gravitasjonskraft. Jo lenger unna planeten vår vi kommer, desto mindre vil gravitasjonskraften være. Vi har derfor nødt til å bruke den generelle formelen for gravitasjonskraften mellom to legemer. Formelen ser slik ut: \(\vec{F} = G\frac{Mm}{\vec{r}^2}\). Her er G gravitasjonskonstanten, M er massen til himmellegemet og m er massen til det andre objektet (raketten i vårt tilfelle). \(\vec{r}\) er avstanden mellom de massesentrene til de to objektene. Her er det viktig å huske på at massen til raketten skal være summen av tørrvekten til raketten (vekt uten drivstoff) og vekten til drivstoffet vi må ha med oss! Tørrvekten til raketten vår er 1100kg.
I simuleringen vår må vi ta hensyn til at både avstanden mellom de to legemene, og massen til raketten vår, kommer til å endre seg.
Så, hvordan skal vi egentlig greie å simulere alt dette her? Det er mange ulike komponenter å ta hensyn til, og flere av dem som varierer over tid! Løsningen i dette tilfellet er våre gode venner Leonhard Euler og Alan Cromer sin geniale metode: Euler-Cromer metoden.
Euler-Cromer metoden er veldig lik Euler-metoden som vi forklarte i forrige blogginnlegg. Den eneste forskjellen er at man bruker den NYE farten til å oppdatere posisjonen, i stedet for den gamle farten som benyttes i Euler-metoden.
For å regne ut den nye farten som brukes i Euler-Cromer metoden, har vi også nødt til å finne akselerasjonen til raketten! Denne akselerasjonen er faktisk veldig lett å finne, nå som vi vet hvilke krefter som virker på raketten vår. Du er kjent med Newtons 2. lov: \(\vec{F} = m\vec{a}\). Vi vet nå at summen av kreftene som virker på raketten er gravitasjonskraften fra planeten, og kraften fra motoren vår. Gravitasjonskraften virker i negativ i vårt koordinatsystem, og motorkraften virker i positiv. Vi får da at \(\sum \vec{F} = \vec{F_{motor}} - \vec{F_{gravitasjon}}\). Dersom vi deler denne summen av krefter på massen til raketten, vil vi sitte igjen med akselerasjonen!
Som sagt kommer massen til raketten til å endre seg etter hvert som raketten bruker opp drivstoff. Det er ganske viktig å ha kontroll på hvor mye raketten veier til enhver tid, siden massen brukes mange steder videre i simuleringen. Måten vi gjør dette på er å finne ut hvor mye masse raketten mister per tidsenhet, og deretter multiplisere dette med et lite tidsintervall dt inne i simuleringen vår. Dette gir oss mengden masse vi mister per tidssteg, og dette er også den størrelsen vi må trekke fra den opprinnelige massen til raketten per tidssteg i Euler-Cromer løkka vår!
Nå var det mye greier samtidig her ... Vi tar en liten oppsummering av hva simulasjonen vår og Euler-Cromer metoden faktisk tar hensyn til! For hvert lille tidssteg som går så skjer dette:
- Vi finner ut hva den nye gravitasjonskraften er
- Vi bruker denne gravitasjonskraften til å finne ny akselerasjon
- Deretter bruker vi akselerasjonen til å beregne ny fart
- Vi bruker den nye farten til å beregne ny posisjon
- Vi beregner hvor mye masse vi har igjen (som igjen brukes til å beregne gravitasjonskraften)
Som vi snakket om innledningsvis, skal denne simuleringen fortsette å gå heeelt til farten til raketten er lik unnslipningshastigheten.
Etter Euler-Cromer løkka vår er ferdig med å kjøre, har vi faktisk simulert hele rakettoppskytningen! Hvor fett er ikke det!