For å løse dette farlige problemet må boksen vår ha det vi på engelsk kaller en ‘Nozzle’. Det er en liten åpning i bunn av boksen hvor gassen kan slippe ut! Se figur nummer 1.
I forrige innlegg så snakket vi kjapt om at dersom et lukket system ikke påvirkes av ytre krefter vil den totale bevegelsesmengden være bevart, la oss ta en nærmere titt på hva dette betyr og hvorfor vi kan utnytte det!
For at vi kan bruke dette prinsippet må vi først være sikre på at kravene som stilles er oppfylt. Prinsippet krever at systemet er lukket, hva betyr egentlig det? Jo, det betyr at det massen inne i systemet vårt ikke forsvinner ut, og at det heller ikke kommer noe ny masse inn. Det virker kanskje litt merkelig at vi definerer gassboksen vår som et lukket system, fordi partiklene forsvinner jo ut fra boksen. Her kommer en viktig forenkling inn i bildet. I simulasjonen vår av motoren har vi forenklet prosessen med regenerering av partikler som forsvinner ut av boksen. I stedet for at vi legger til en partikkel hver gang en partikkel flyr ut av boksen, lar vi ingen partikler i det hele tatt fly ut av boksen. Vi regner partiklene som ute i det de har truffet boksen der hullet ville ha vært. I virkeligheten kommer åpenbart partiklene til å forsvinne ut av boksen, og vi kommer til å trenge en konstant tilførsel av nye partikler for å fortsette prosessen. Selv om vår forenkling virker banal fungerer den i simulasjonen fordi vi kun er interessert i hvor mange partikler som i virkeligheten ville forsvunnet ut av hullet.
La oss gå tilbake til hvorfor dette er et lukket system. Vi kan kalle dette systemet for lukket fordi den massen som forsvinner ‘ut’ blir momentant regenerert. Det er altså ikke noe endring av total masse inne i boksen vår.
Det andre kravet som må oppfylles er at det ikke virker noen ytre krefter på systemet vårt. I denne delen av simulasjonen tar vi ikke hensyn til tyngdekraften, og det er heller ingen andre krefter som virker her. Derfor er dette kravet også oppfylt!
Som sagt fyller vi gassboksen vår med ekstremt mange hydrogengass-partikler. Hver av disse gasspartiklene vil ha en fart, og derfor også ha en bevegelsesmengde. Fra fysikk-timene på skolen kjenner dere igjen formelen vi bruker for å regne ut bevegelsesmengde: \(\vec{p}=m\vec{v}\). Hvis du tar en titt på figur 2, så kan du se at vi kan dekomponere fartsvektoren til en partikkel i ulike retninger. På figuren har vi dekomponert vektoren i to deler; en i x-retning og en i y-retning. I virkeligheten har vi tre dimensjoner, og da også tre ulike komponenter av fartsvektoren. Men, det er nemlig slik at vi kun er interessert i den ene komponenten av disse tre! Vi er kun interessert i å bruke z-komponenten til fartsvektorene. Det er fordi dette er komponenten som peker parallelt med det vi har bestemt er bevegelsesretningen til raketten.
Hele poenget med å bruke bevaring av bevegelsesmengde er å kunne regne på hvor sterk kraften som dytter oss oppover er. Siden den totale bevegelsesmengden i systemet vårt skal være lik før og etter en partikkel har sluppet ut av boksen, kan vi se på bevegelsesmengden til én partikkel på vei ut, og deretter finne kraften den dytter oss opp med. Ta en titt på figur 3. Her er det viktig å presisere at vi da må bruke komponenten til fartsvektoren i z-retning, for å deretter regne ut komponenten til bevegelsesmengden i z-retning.
Men hvorfor er det slik at vi kun bryr oss om z-komponenten til bevegelsesmengden? For å finne ut av dette må vi faktisk ta en titt på statistikken vi snakket om i forrige blogginnlegg! Siden farten til alle partiklene våres følger en Maxwell-Boltzmann fordeling, er det like sannsynlig at en partikkel beveger seg i negativ x-retning som i positiv. Det samme gjelder for y-retningen. Med andre ord så er summen av alle x -og y-komponentene lik null! Dette kan være litt vanskelig å skjønne ...
Se for deg et rom fylt med masse mennesker som har fått beskjed om å dytte på hverandre. I enden av rommet er det én dør. Noen av menneskene dytter hverandre sørover, mens andre dytter nordover. Det samme gjelder øst og vest. Om vi summerer den totale kraften det dyttes i alle retningene vil denne summen bli null! Men – siden det er en dør på den ene veggen (for eksempel sør-veggen) så vil en viss andel mennesker dyttes ut gjennom døra. Det er da kun summen av dyttingen i denne retningen som ikke vil bli null! All dyttinga i de andre retningene har da ingenting å si. Dette er akuratt dette som skjer i gassboksen vår!
Om vi går tilbake til gassboksen vår og raketten, er det altså kun summen av bevegelsesmengden langs z-aksen vi bryr oss om. Det er denne kraften som dytter raketten vår oppover. Men hvordan skjer egentlig det?
Du er nok allerede godt kjent med Newtons 3. lov, nemlig at kraft og motkraft alltid er like store og motsatt rettet. Når en partikkel forlater gassboksen vår kan vi tenke på det som at partikkelen først dytter i ‘taket’ til gassboksen, før den forsvinner ut. Det er da dette ‘dyttet’ i taket som er motkraften til partikkelen sin bevegelsesmengde, og det er dette som gjør at raketten beveger seg oppover. Vi finner hele bevegelsesmengden til raketten ved å summere alle bidragene fra alle partiklene som forlater boksen vår. Likningen som beskriver dette matematisk, er
\(\vec{p_{rakett \hat{z}}} = - \sum{\vec{p_{partikkel\hat{z}}}}\)
Hvor p er bevegelsesmengde og \(\hat{z}\) betyr langs z-aksen. I likningen blir Newtons 3. lov veldig synlig! Vektorene er like store, bare motsatt rettet. Denne likningen er veldig nyttig, for vi kan nå regne på hvor stor kraft gassboksen vår dytter raketten opp med! Figur 4 illustrerer dette prinsippet!
Hvis man kun har én liten gassboks i rakettmotoren, kommer ikke raketten til å komme særlig høyt opp. Rakettmotoren vår skal faktisk bestå av veldig, veldig mange små gassbokser! For å finne ut av nøyaktig hvor mange bokser vi trenger, må vi først regne ut kraften som trengs for å nå det vi kaller unnslipningshastighet.
I Fysikk 2 har dere kanskje allerede lært litt om hva unnslipningshastighet er, men vi tar allikevel er kort gjennomgang dersom du har glemt det! Unnslipningshastigheten er en hastighet som forteller oss hvor fort noe har nødt til å bevege seg for at det klarer å unnslippe tyngdeakselerasjonen til himmellegemet. For å finne et uttrykk for unnslipningshastigheten starter man først med å bruke bevaringsloven for mekanisk energi: \( E_{start}= E_{slutt}\). Dersom vi setter sluttpunktet uendelig langt unna startpunktet, vil hele \(E_{slutt}\) bli null! Dersom vi setter inn uttrykkene for potensiell og kinetisk energi ved startpunktet, og løser likningen for farten, ender vi opp med formelen for unnslipningshastighet: \(v_{escape}= \sqrt{\frac{GM}{r}}\) hvor M er massen til himmellegemet, r er radiusen til planeten og G er gravitasjonskonstanten. Så, hva vil unnslipningshastigheten for våres planet bli?
Massen til planeten vår er \(1.86 \cdot 10^25\) kg, og radiusen til planeten er 9609.16 km. Om vi setter inn disse verdiene i formelen over, få vi
\( v_{escape} = \sqrt{\frac{2G(1.86\cdot 10^{25})}{9609.16\cdot 10^3}}\)
\(v_{escape} \approx16053 m/s\)
Denne unnslipningshastigheten kommer vi til å trenge i neste blogginnlegg, hvor vi faktisk skal simulere oppskytningen!
En annen viktig del av simulasjonen vår er å finne ut av hvor mye drivstoff (altså hydrogengass) vi må ha med oss. Det er veeeldig kjipt å gå tom for drivstoff når vi kun har kommet halvveis! Måten vi gjør dette på, er å bruke en likning vi kaller for rakettlikningen! Altså, rakettlikningen må jo være det kuleste navnet noensinne på en likning. Før vi kan ta i bruk denne ekstremt fete likningen, må vi også skjønne fysikken bak den.
Rakettlikningen ser sånn her ut: \(\Delta v = v_{drivstoff} ln\frac{m_0}{m_f}\)
\(v_{drivstoff}\) er hastigheten til eksosen, altså hastighetene til gasspartiklene våres når de forsvinner ut av boksen vår. \(m_0\) er startmassen, denne massen innebærer både massen til raketten og til alt drivstoffet vi skal ha med. \(m_f\) er sluttmassen, dette er da kun massen til raketten etter at alt drivstoffet er brukt opp. Til slutt er ∆v fartsendringen vi ønsker å oppnå!
Fysikken bak denne formelen bygger (som mye annet) på bevaring av bevegelsesmengde. La oss se på bevegelsesmengden til raketten før og etter raketten er skutt opp i atmosfæren. Før raketten er skutt opp er bevegelsesmengden kun \(\vec{p}=m\vec{v}\) . Men i det vi skyter opp raketten, endrer både massen og farten til raketten seg! Om vi ser på et lite tidsintervall dt vil raketten miste en liten masse med drivstoff dm. Denne massen med drivstoff vil og bli skutt bakover med eksoshastigheten til drivstoffet relativt til rakettens fart! Det siste som skjer, er at farten til selve raketten også vil øke med et lite tillegg dv. Matematisk så ser dette slik ut:
\(m\vec{v} = (m - dm)(\vec{v} + d\vec{v}) + dm(\vec{v} - \vec{v_e})\)
Her er det en del som faktisk kansellerer hverandre etter vi ganger ut parentesene! Vi sitter da igjen med: \(mdv = -\vec{v_e}dm\). Om vi deler begge sider på massen, får vi \(dv = -\vec{v_e} \frac{dm}{m}\). Nå kan vi gjøre et smart triks. Om vi nå tar integralet av begge sidene til likningen, blir vi kvitt disse forvirrende små delene dv og dm. Vi integrerer både farten og massen fra start til slutt. Selve integralet skal dere slippe å regne ut, men resultatet blir
\( v_{etter} - v_{før} = v_{drivstoff} ln\frac{m_{start}}{m_{slutt}}\)
Vi skriver \(v_{etter} - v_{før}\) som ∆v! Som sagt så er vi interessert i å finne ut hvor mye drivstoff vi bruker på å oppnå en gitt fartsendring. Dersom vi tar utgangspunkt i rakettlikningen, og flytter litt rundt på variabler, så beregner denne likningen det for oss! Dersom du er nysgjerrig på nøyaktig hvordan vi har gjort dette anbefaler vi å ta en titt på figur 5.
Verre var det altså ikke! Vi har faktisk nå det vi trenger for neste steg av simulasjonen vår, nemlig å faktisk simulere en oppskytning av raketten!