Grublegruppa er et ekstratilbud til studenter som ønsker å lære litt ekstra. Fokuset vil i hovedsak være på de teoretiske delene av pensum.
Sammendrag fra Gruppetimene
Her vil det legges ut sammendrag fra tidligere gruppetimer og eventuelle kommentarer om fremdriften i løpet av semesteret.
22. august: Vi diskuterte forventninger og tanker knyttet til grublegruppen, før vi gikk igang med å konstruere de komplekse tallene fra de reelle tallene.
29. august: Hovedfokuset i dag var på grunnleggende mengdelære og funksjoner. Spesielt studerte vi kartesiske produkter og ga deretter en mengdeteoretisk definisjon av funksjonsbegrepet.
5. september: Vi startet med en repetisjon av den mengdeteoretiske definisjonen av funksjonsbegrepet, før vi studerte injektive, surjektive og bijektive funksjoner. Videre introduserte vi komposisjon av funksjoner og brukte dette til å gi en karakterisering av bijektive funksjoner, som ledet oss frem til en definisjon av inversfunksjoner.
12. september: Vi startet med å repetere karakteriseringen av bijektive funksjoner og definisjonen av inversfunksjoner, før vi studerte egenskaper ved disse og hvordan dette henger sammen med komposisjon.
Fremover skal vi fokusere på følger og rekker, både av tall og av funksjoner. En god forståelse av konvergens innebærer også forståelse av når dette ikke inntreffer, det vil si, divergens. Vi skal studere en følges delfølger og ved hjelp av disse karakterisere når en følge kan konvergere eller ikke; det viser seg at det er den samme symmetrien som brytes når en begrenset følge av reelle tall feiler å konvergere som når en begrenset funksjon feiler å være Riemann-integrerbar. Fra denne innsikten skal vi høste goder som at det reelle tallsystemet er komplett og Bolzano–Weierstrass' teorem. Sistnevnte er et frampek mot følgekompakthet, et topologisk begrep som har mye for seg, og vi skal benytte dette til å bevise resultater om kontinuerlige funksjoner.
19. september: Vi startet på vårt studium av følger. Spesielt studerte vi konvergens av reelle følger ved å se på dens delfølger.
26. september: Vi repeterte begreper knyttet til minste øvre skranker og største nedre skranker av delmengder av de reelle tallene. Deretter innførte vi begrepene øvre og nedre grense til en begrenset følge av reelle tall («limsup» og «liminf»).
3. oktober: Vi studerte egenskaper ved øvre og nedre grenser («limsup» og «liminf»).
10. oktober: Ingen grublegruppe denne uken grunnet midtveiseksamen.
17. oktober: Vi endte opp med å benytte hele gruppetimen til å forfølge noe som opprinnelig var en digresjon om metriske rom, og vi snakket en del om kontraksjoner, kontraksjonsprinsippet for komplette metriske rom og anvendelser av dette til studiet av differensiallikninger.
24. oktober: Vi repeterte og viste videre egenskaper ved øvre og nedre grenser av følger («limsup» og «liminf»). Blant resultatene vi viste var Bolzano–Weierstrass-teoremet, som vi skal bruke neste gang til å vise resultater om kontinuerlige funksjoner.
31. oktober: Vi benyttet Bolzano–Weierstrass-teoremet til å gi et bevis for ekstremalverdisetningen. Videre så vi på grunnleggende egenskaper ved cauchyfølger og viste komplettheten av de reelle tallene.
7. november: Vi så på grunnleggende teori for rekker av reelle tall med fokus på konvergens og noen konvergenstester.
14. november: Etter innspill fra deltakerne sporet vi først litt av og snakket om Lipschitz-kontinuitet. Deretter fortsatte vi med det planlagte programmet, hvor vi beviste forholdstesten for absolutt konvergens av rekker, som vi igjen benyttet til å vise (absolutt) konvergens av rekkene for eksponentialfunksjonen og de trigonometriske funksjonene.
21. november: Vi innførte begrepene punktvis og uniform konvergens for følger og rekker av reelle funksjoner. Vi viste at kontinuitet er bevart under uniforme grenser og Weierstrass' test for uniform konvergens av funksjonsrekker. Som anvendelser viste vi kontinuitet av eksponentialfunksjonen og de trigonometriske funksjonene sinus og cosinus.
28. november: Avlyst.