Analyse av midtveiseksamen

Årets midtveiseksamen var en hjemmeeksamen med alle hjelpemidler tillatt. Det var derfor nødvendig å formulere noen oppgavetyper annerledes enn ellers for at man ikke skulle kunne løse dem ved hjelp av noen få tastetrykk. Det gjaldt spesielt oppgaver om komplekse tall og grenseverdier, samt noen oppgaver om de "nye" arcusfunksjonene som ikke er kjent fra videregående skole (disse oppgavene har typisk dreid seg om derivasjon av sammensatte funksjonsuttrykk). For å se hvordan de nye oppgavetypene slo ut, har jeg forsøkt å sammenligne resultatene med tidligere eksamener. Jeg har ikke funnet brukbar statistikk fra alle år, men har data som kan brukes fra 2019, 2017, 2014, 2011 og 2007.

Som en røff sammenligning har jeg laget en oversikt som viser antall kandidater, gjennomsnittskår i prosent og "strykprosent" (dvs. andel studenter som skåret under 40%) i disse årene. Alle eksamenene på listen har bestått av flervalgsoppgaver med fem svaralternativer, men det har vært noen justeringer i antall oppgaver (i 2019 og 2021 var det 18 oppgaver istedenfor tidligere 20) og poengfordeling på oppgavene.

Vi ser at 2019, 2011 og 2007 peker seg ut som "gode år", mens resultatene ellers er ganske sammenlignbare. Det mest bekymringsfulle for 2021 er hvor få som har gått opp til midtveiseksamen sammenlignet med foregående år.

De utradisjonelle oppgavene

Da jeg lagde årets oppgavesett, var det seks oppgaver jeg bevisst formulerte eller valgte ut annerledes enn tidligere år. Tre av disse oppgavene handlet om komplekse tall (oppgave 1, 2 og 3), én om omvendte funksjoner (oppgave 7) og to om grenseverdier (oppgave 10 og 11). I tillegg til at disse nye oppgavetypene er kommet inn, har det nok også vært en viss glidning i de tradisjonelle oppgavene ved at regnetekniske oppgaver (som lett kan løses med programvare) er blitt erstattet med mer begrepsmessige oppgaver. Sidene studentene gjerne oppfatter begrepsmessige oppgaver som vanskeligere enn regneoppgaver, prøvde jeg å være forsiktig med hva slags oppgaver jeg puttet inn.

De tre "nye" oppgavene om komplekse tall hadde en gjennomsnittsskår på henholdsvis 93%, 75% og 79%, som er i det sjiktet hvor oppgaver om komplekse tall har ligget på tidligere eksamener. De to første av disse oppgavene er egentlige ikke nye, bare "gamle" oppgaver omformulert på en måte som gjør dem mer omstendelige å løse med programvare. Matematisk sett gjør omformuleringer dem enklere, men en litt uvant formulering kan i seg selv være en utfordring for studentene. Den tredje oppgaven er av en type jeg ikke tror har vært gitt på eksamener før, men som ofte har dukket opp på obliger. Den gikk litt bedre enn jeg egentlig hadde trodd på forhånd.

Oppgaven om omvendte funksjoner er også av en tradisjonell type, bortsett fra at det riktige svaralternativet ("\(f\) har ingen omvendt funksjon") nok var uvant. Jeg valgte dette alternativet for at studentene ikke bare skulle kunne be et program om å fremskaffe den omvendte funksjonen. Løsningsprosenten på denne oppgaven var 32%, som er tredje lavest på hele settet. En tradisjonell oppgave om omvendte funksjoner hadde nok skåret en del høyere (i 2017 hadde en slik oppgave en løsningsprosent på 59%). 

De to oppgavene om grenseverdier gjorde bruk av L'Hôpitals regel på en litt mer abstrakt måte enn det som ellers er vanlig. Løsningsprosenten var på henholdsvis 30% og 0.58% (til sammenligning lå løsningsprosenten på grenseoppgaver i 2017 mellom 47% og 63%). Den første av de to oppgavene hadde et uheldig galt svaralternativ som sannsynligvis tiltrakk seg litt for mye oppmerksomhet. Det var også en mer tradisjonell oppgave med grenseverdier. Den hadde en løsningsprosent på 39%.

Som en oppsummering kan vi vel si at de "utradisjonelle" oppgavene om komplekse tall fungerte omtrent som tidligere oppgaver om komplekse tall, mens oppgavene om grenseverdier og inverse funksjoner falt en del vanskeligere. Dette hadde jeg imidlertid en mistanke om på forhånd, og prøvde å kompensere ved å velge enklere oppgavevarianter på andre områder (f.eks. er nok oppgavene 6, 9, 16 og 17 enklere enn tilsvarende oppgaver ofte har vært).

Oppgavesettet som helhet

Tabellen nedenfor viser løsningsprosenten på de enkelte oppgavene.

Oppgavene om komplekse tall (1-5) har høyest skår.  Bortsett fra oppgave 7 (diskutert ovenfor) er det også gode resultater på oppgavene om injektiv og inverse funksjoner (6-8) og om konkave/konvekse funksjoner (oppgave 9).  Som allerede nevnt, er det dårligere resultater enn normalt på vanlige grenseoppgaver (10-12), men overraskende god skår på oppgave 13 om grenseverdien til en rekursivt gitt følge. De seks siste oppgavene var ment å være litt mer utfordrende, og ut ifra det er nok skåren på oppgave 16 (om \(\epsilon-N\)-definisjonen av konvergens) og oppgave 18 (en litt krevende oppgave med koblede hastigheter) som forventet. Oppgave 14 (om skjæringssetningen) har lavere skår enn forventet, men her kan nok et litt ondsinnet svaralternativ ha spilt noen et puss. Oppgave 17 anså jeg som en ganske enkel uoppstilt maksimumsoppgave, og skåren er skuffende lav, men tidspress kan nok ha hatt en del å si så sent i settet. Oppgave 15 har lavest løsningsprosent i hele settet (man skal finne den deriverte til funksjonen \(f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{\ln x}{x-1}&\mbox{hvis }x\neq 1\\1&\mbox{hvis } x=1\end{array}\right.\) i punktet 1). Det synes jeg er merkelig, selv om mange sikkert har svart 0 ut ifra den forfeilede tanken at \(f\)er konstant i punktet 1 (en funksjon er selvfølgelig konstant i ethvert punkt!). Denne oppgaven står faktisk som et eksempel i læreboken, og hadde jeg sett det på forhånd, ville jeg ikke ha gitt den i det hele tatt!

Konklusjon

Midtveiseksamen gikk litt dårligere enn vi hadde håpet, men resultatene er omtrent som i 2017 da det gikk det gikk veldig bra til slutt (se her). Det er bare å stå på og jobbe videre!