Framdriftsplan

0–1.3

Notater

Tirsdag: Jeg ga en kort oversikt over hvert av de seks kapitlene i læreboka. Deretter begynte jeg på Sek. 1.1, definerte hva en kropp er, og begynte på definisjonen av et vektorrom.

Onsdag: Vi fullførte definisjonen av et vektorrom, og så på følgende eksempler: ℝⁿ, ℂⁿ, 𝕂ⁿ (for en kropp 𝕂), 𝐶⁰((𝑎,𝑏), ℝ)) (mengden av alle kontinuerlige, reelle funksjoner på intervallet (𝑎,𝑏)), 𝒫 (mengden av alle reelle polynomer), 𝒫ₙ (mengden av alle reelle polynomer av grad høyst 𝑛, der 𝑛 ∈ ℕ₀) og det trivielle vektorrommet {0}.

Torsdag: Vi dekket Sek. 1.2 og mesteparten av 1.3. Vi snakket om lister av vektorer, om hva en lineærkombinasjon av en liste er, og om spennet til en liste. Vi definerte så lineær (u)avhengighet, og så noen eksempler. Til slutt beviste vi at en liste er lineært uavhengig hvis og bare hvis hver av vektorene ikke er en lineærkombinasjon av de foregående vektorene. Vi rakk ikke Lemma 1.3.7, men tar det senere.

Tirsdag: Vi beviste Lemma 1.3.7, og begynte på Sek. 1.4. Vi introduserte begrepene basis, endeligdimensjonalt, uendeligdimensjonalt og basisrepresentasjon. Vi fant at lister som utspenner vektorrommet må være minst like lange som lineært uavhengige lister, og brukte dette til å vise at forskjellige basiser må ha like mange vektorer. Dette antallet er dimensjonen til vektorrommet.

Onsdag: Vi studerte underrom, og fant (logisk nok) at underrom ikke kan ha høyere dimensjon enn "moderrommet". Vi så deretter på forskjellige basiser for 𝒫ₙ.

Ingen forelesning torsdag.

Tirsdag: Vi definerte lineære avbildninger mellom vektorrom. Vi introduserte notasjonen ℒ(𝑈,𝑉) for mengden av lineære avbildninger fra 𝑈 til 𝑉. Vi så flere eksempler på lineære avbildninger: Matrisemultiplikasjon, integrasjon, derivasjon, å ta antideriverte, og å polynominterpolere over gitte punkter. Vi så også at ℒ(𝑈,𝑉) selv er et vektorrom, og så en måte å konstruere lineære avbildninger på ut fra hva de gjør med basisvektorer. Til slutt introduserte vi begrepene bilde, kjerne og rang, og tok eksemplet med polynominterpolasjon.

Onsdag: Vi brukte mesteparten av forelesningen på å vise Dimensjonssatsen, som gir en sammenheng mellom dimensjonen til U, og dimensjonen til kjernen og bildet til en lineæravbildning. Vi så deretter på begrepene injektiv, surjektiv og bijektiv, og vi så hva surjektivitet betyr for lineære avbildninger.

Torsdag: Vi så flere ekvivalente definisjoner av injektivitet av lineære avbildninger; kanskje viktigst av disse er at ker(𝑇)={0}.

Tirsdag: Vi definerte en isomorfi mellom to vektorrom og hva det innebærer at et vektorrom er isomorft med et annet. Vi så at en lineær avbildning mellom to vektorrom av samme (endelige) dimensjon er injektiv hvis og bare hvis den er surjektiv. Videre viste vi at alle vektorrom med dimensjon n er isomorfe med Kⁿ, og begynte å snakke om matriserepresentasjoner av lineære avbildninger ved hjelp av basiser for vektorrommene.

Ingen forelesning onsdag.

Torsdag: Vi innledet forelesningen med et eksempel på hvordan man kan finne matriserepresentasjonen til en lineær avbildning. Deretter viste vi at matriserepresentasjonen utgjør en isomorfi mellom rommet av lineære avbildninger av to vektorrom og rommet av matriser med tilsvarende dimensjon. Til slutt snakket vi om komposisjonen av avbildninger, og viste at den tilsvarende matriserepresentasjonen er gitt ved matrisemultiplikasjonen av matrisene for de enkelte avbildningene.

Tirsdag: Vi introduserte basisskiftematriser, som gjør oss i stand til å gå fra basisrepresentasjon i én basis til en annen ved hjelp av en matrise-vektor-multiplikasjon. Vi snakket så om summen av to underrom: Om V og W er underrom av U, er V+W alle vektorer vi får ved å summere vektorer fra V og W. Avsnittet om direktesum er selvstudium.

Onsdag: For å kunne generalisere konsepter som konvergens og kontinuitet til vektorrom, introduserte vi normer, et mål på størrelse og avstand. Vi så mange eksempler: p-normene på ℝⁿ, 𝐿ᵖ-normene på mengden av kontinuerlige funksjoner, og ℓᵖ-normene på følger av reelle tall ("uendelig lange kolonnevektorer"). Dette er Sek. 3.1.

Torsdag: Vi beviste den omvendte trekantulikheten, og begynte på Sek. 3.2, der vi definerte åpne og lukkede kuler.

Tirsdag: Vi definerte hva det vil si for mengder å være åpen, lukket, og begrenset. Vi gikk så videre til Sek. 3.3 og definerte konvergens av følger. Vi så et eksempel på en følge av kontinuerlige funksjoner som konvergerer i 𝐿¹-normen, men ikke i 𝐿^∞-normen. Vi beviste til slutt Prop. 3.3.6 som gir en ekvivalent definisjon av lukkethet.

Onsdag: Vi avsluttet Sek. 3.3, og gikk videre til Sek. 3.4 om kontinuitet av funksjoner fra ett vektorrom til et annet. Vi viste at kontinuitet er ekvivalent med sekvensiell kontinuitet. Vi så også som et eksempel at det å antiderivere funksjoner er en kontinuerlig operasjon. Vi studerte til slutt lineære funksjoner, og så flere egenskaper som er ekvivalent med kontinuitet.

Torsdag: Vi så at det å derivere funksjoner er en diskontinuerlig operasjon. Vi begynte så på Sek. 3.5 og introduserte delfølger og kompakthet. Vi så at endelige mengder er kompakte, og at enhver kompakt mengde er lukket og begrenset.

Tirsdag: Jeg gav en motivasjon for hvorfor vi er interessert i kompakthet, ved å skissere en framgangsmåte for å vise eksistens av løsninger av en ligning. Vi anvendte så denne framgangsmåten for å vise ekstremalverdisetningen – en maksimerende følge har en konvergent delfølge, og grensen blir et maksimum. Vi begynte så på Sek. 3.6 og beviste Teorem 3.6.1: Alle lineære funksjoner på endeligdimensjonale vektorrom er kontinuerlige.

Onsdag: Vi beviste Bolzano–Weierstrass-teoremet i endeligdimensjonale vektorrom (Teorem 3.6.2). Vi snakket så om ekvivalente normer, og viste at på endeligdimensjonale vektorrom er alle normer ekvivalente. Til slutt definerte vi operatornormen ‖𝑇‖_ℒ av en lineær avbildning 𝑇; vi så at denne er endelig hvis og bare hvis 𝑇 er kontinuerlig, og noen naturlige egenskaper.

Torsdag: Forelesning avlyst. Seksjon 3.7.2 er selvstudium.

Tirsdag: Vi introduserte indreprodukter på vektorrom, som er generaliseringer av prikkproduktet på ℝⁿ eller ℂⁿ. Hovedeksemplene er prikkproduktet i ℝⁿ og ℂⁿ, ℓ²-indreproduktet i ℓ²(ℝ), og 𝐿²-indreproduktet i 𝐶⁰([𝑎,𝑏],ℝ). Vi studerte så normen indusert av et indreprodukt og beviste Cauchy–Schwarz-ulikheten. Til slutt beviste vi parallellogramidentiteten som gir et uttrykk for indreproduktet med hensyn på normen.

Onsdag: Sek. 4.3. Vi definerte så hva det vil si at en liste av vektorer er ortogonal og ortonormal (at vektorene i tillegg har lenge 1). Siden  ortogonalitet avhenger av hvilket indreprodukt vi bruker, sier vi gjerne ortogonal/ortonormal med hensyn på [et bestemt indreprodukt]. Vi gikk gjennom mange eksempler på at ortonormale basiser gir oss spesielt enkle formler på basisrepresentasjon, basisskiftematrise, og på indreproduktet selv. Til slutt gikk vi raskt gjennom Gram–Schmidt-ortogonalisering (Sek. 4.4).

Torsdag: Ingen forelesning. Seksjon 4.4 er selvstudium.

Tirsdag: Seksjon 4.5. Vi definerte hva en projeksjon er, og spesifikt definerte vi ortogonalprojeksjonen proj_V på et underrom V. Vi så også på ortogonalkomplementet av V^⟂, og så at proj_V  gir en unik dekomposisjon av vektorer i en del i V og en del i V^⟂. Som en anvendelse beviste vi Bessels ulikhet.

Onsdag: Seksjon 4.5–4.7. Vi beviste at projeksjonen proj_V (u) også kan karakteriseres som punktet i V som ligger nærmest u. Vi beviste så Riesz' representasjonsteorem, før vi motiverte og definerte den adjungerte til en lineær avbildning. I endeligdimensjonal indreproduktrom eksisterer det alltid en unik adjungert.

Torsdag: Seksjon 4.7. Vi så at adjungering er "det samme som" konjugerttransponering av den tilhørende matrisen. Vi så på en lang liste av sammenhenger mellom 𝑇^* og 𝑇, og så til slutt på hvordan man kan ha en intuitiv forståelse av den adjungerte .