Beskjeder - Side 2
Vi arbeidet med de gjenstående oppgavene 4.6.9-4.6.11. Det ble litt dårlig tid på slutten, men jeg tror vi kom rimelig greit igjennom.
TL
Idag, onsdag gjorde vi oppgavene 4.6.7 og 4.6.8. Spesielt viste vi at mengden av punkter der en reell funksjon er alpha-kontinuerlig er åpen.
Fredag skal dette brukes til å vise at mengden av diskontinuiteter er en tellbar union av lukkede mengder. Oppgaven 4.6.9-11. Forbered deg med å gå over beviset for 4.6.8 og definisjonen av alpha-kontinuitet, en gang til!
KR
I dag hadde en foreløpig evaluering av emnet. To punkt kom spesielt opp:
1. Løsningsforslag på gruppeoppgavene: Som foreleser/retter sender jeg epost med link til godt løsningsforslag, evt navn/epost på student/gruppe med godt løsningsforslag. Selvsagt etter tillatelse fra vedkommende.
2. Gruppearbeid: Noen grupper har lite frammøte. Hver student/gruppe bes melde til foreleser om de har plass til flere, evt at de gjerne vil slås sammen med andre. Foreleser prøver å reorganisere til aktive grupper som er så fulltallige som mulig på forelesningene/fellesøvelsene.
Dessuten, eksamen: Planlagt til perioden 4.-15. juni. Meld fra om du har preferanser for første eller andre uke.
KR
Mandag viste vi at en monoton funksjon har et endelig eller tellbart antall diskontinuiteter (oppgavene 4.6.5 og 4.6.6). Til onsdag kan dere undersøke om mengden av diskontinuiteter til Dirichlet funksjonen, den modifiserte Dirichlet funksjonen og Thomas funksjon (fra seksjon 4.1) alle er F_sigma mengder (tellbare unioner av lukkede mengder). Så arbeider vi med oppgavene 4.6.7 og 4.6.8.
I pausen tar vi en evaluering av emnet så langt, inkludert hvordan gruppene har fungert.
KR
Mandag vil vi først ha en framføring om Baire's setning.
Dere kan forberede dere til resten av mandagen med å lese om monotone funksjoner (4.6.1), om de tre typer diskontinuiteter som en funksjon kan ha (s 142 i boka), så vil vi arbeide med oppgavene 4.6.5, 4.6.6. og 4.6.7.
KR
Vi begynner fredag med en presentasjon av Baire-oppgaver av gruppe 1.
Deretter fortsetter vi kontinuitet og diskontinuitet. Forbered dere med i oppgave 4.6.2 å dele i tre tilfeller: 1) A har ingen grensepunkt, 2) A har ett grensepunkt, og 3) A har mer enn ett grensepunkt.
Les også på definisjon av kontinuitet (4.3), så gjør vi oppgave 4.6.3 og 4.6.4.
KR
Etter en gruppepresentasjon om dobbeltsummerte rekker, går jeg gjennom definisjonen av kontinuitet før vi begynner på oppgavene 4.6.1-4.6.4.
Forbered dere gjerne på disse oppgavene som bare bygger på 4.1 og definisjonen av grense i 4.2.
KR
Vi går gjennom deler av seksjon 4.1 og 4.2. Deretter begynner vi på oppgavene 4.6.1 og 4.6.2. Kanskje rekker vi også å begynne på 4.6.3 og 4.6.4. Det er lurt å se litt på seksjonene 4.1 og 4.2 på forhånd.
Det blir også en gruppepresentasjon av innleveringsoppgave 2.
Tom
Snakket først litt mer om tette og ingensteds tette mengder. Deretter avsluttet vi kapittel 3 ved å arbeide med 3.5.8, 3.5.9 og 3.5.10.
Tom
I dag onsdag arbeidet vi med oppgavene 3.5.5, 3.5.6 og 3.5.7. Begrepene "nowhere dense" og tillukning (closure) definerte vi kort mot slutten (se side 108 i boka). Til fredag gjenstår de tre siste oppgavene 3.5.8-3.5.10. Forbered dere gjerne i forkant på 3.5.8 og 3.5.9.
KR
Mandag arbeidet vu med oppgavene 3.5.3 og 3.5.4. Til onsdag bruk 3.5.1 og 3.5.4 til å angripe oppgave 3.5.5. Vi tar dette opp onsdag, og fortsetter på oppgavene 3.5.6, 3.5.7 og 3.5.8.
KR
Forbered svar på oppgave 3.5.3, så diskuterer vi disse før vi begynner på Baire's setning (teorem 3.5.2) og oppgavene 3.5.4 og 3.5.5.
KR
Onsdag avsluttet vi med å gjøre oppgave 3.5.1. TIl fredag les om kompakte mengder, definisjon 3.3.1 og setning 3.3.4 og forbered dere på oppgavene 3.5.2 og 3.5.3.
KR
Vi definerte mandag åpne og lukkede mengder og viste at komplementet av en lukket mengde er åpen og omvendt. Til onsdag ber jeg dere se på oppgavene:
Hvis A_1,A_2,..,A_n,... er en uendelig samling med åpne reelle mengder, vis at unionen av disse er åpen og vis at snittet mellom A_1 og A_2 er åpent.
Vis at snittet mellom alle A_i-ene ikke nødvendigvis er åpent.
Les også om Cantor-mengden i kapittel 3.1.
KR
I dag arbeidet vi stort sett med oppgave 2.8.6, men noen grupper kom også godt i gang med oppgave 2.8.7. Jeg tror alle etter hvert fikk med seg 2.8.6a), men det var nok mer forvirring rundt 2.8.6b) - den er da også ganske krevende. Oppgave 2.8.7 er enklere, så jeg håper mange arbeider videre med den. Et generelt tips: Les oppgaveteksten nøye - det ligger ofte mye hjelp i måten forfatteren ordlegger seg på.
Malene Bjornes og Ronny Ansnes er tillitsvalgte i emnet.
KR
Idag onsdag fullførte vi oppgaven 2.8.5 og dermed beviset for Teorem 2.8.1, og begynte på 2.8.6.
Til fredag ber jeg dere fullføre argumentene i 2.8.6, så vil den oppgaven bli kort oppsummert før en så går løs på siste oppgave : 2.8.7. (produkt av rekker).
KR
Mandag 5.2 arbeidet vi oss gjennom oppgavene 2.8.3 og 2.8.4. Vi ble ikke helt ferdige og begynner onsdag med 2.8.4.b der vi bruker hintet
|s_mn-S|<|s_mn-s_nn|+|s_nn-S| og |s_mn-s_nn|<|t_mn-t_nn|
til å konkludere. Deretter fortsetter vi onsdag med 2.8.5 og 2.8.6.
KR
Fredag 2/2 snakket jeg litt om konvergens, absolutt konvergens og betinget konvergens (seksjon 2.7). Jeg prøvde også å klargjøre dobbeltsumnotasjonen litt mer. Ellers arbeidet vi mest med oppgave 2.8.2 der det krevde litt anstrengelse å forstå hva oppgaven egentlig går ut på (det er viktig å forstå parentesen i oppgaveteksten). Neste gang blir det å avslutte oppgave 2.8.2 og deretter arbeide videre så langt man kommer med de neste oppgavene.
I dag foreleste jeg Bolzano-Weierstrass setningen og om Caucy følger før vi begynte på doble summer og oppgave 2.8.1. Til fredag ber jeg dere lese på absolutt konvergens kapittel 2.7, så vil dere arbeide med 2.8.2 og 2.8.3.
KR
ber jeg dere lese om Cauchy-kriteriet (kapittel 2.6) og omordninger i rekker (kapittel 2.1) og om beviset konvergens /divergens av geometriske rekker.
KR
Vi begynner på kapittel 2, gjennomgår definisjoner og viktige kriterier for konvergens for følger og rekker. Som forberedelse, begynne og lese på kapittelet, og finn særlig et bevis for at rekka
1+1/2+1/3+1/4+1/5+... divergerer og at rekka
1-1/2+1/3-1/4+1/5-.... konvergerer.
KR
På forelesning i dag diskuterte vi likheten
1=0.9999.. ,
potensmengder og oppgavene 1.6.4-1.6.7.
Vi forberedte også oppgave 1.6.8. Fredag drøftes oppgavene 1.6.8-1.6.10.
Innleveringsfrist for første prosjekt er utsatt til mandag 29.1 kl 09.00.
KR
I dag, mandag, arbeidet vi mest med diagonalargumentet, ( ex 1.6.2 -1.6.4).
Til onsdag er det smart å prøve å gjøre 1.6.4 ferdig, og å lese på potensmengder (power sets), så bruker vi tid på ex 1.6.5-1.6.8 onsdag.
KR
På fellesøvelsen 19.1 drøftet vi bijektive funksjoner mellom intervaller, tellbarhet av de rasjonale tallene, og ikke-tellbarhet av reelle tall (Thm 1.5.6) og arbeidet i guppene med ex 1.6.1. Noen begynte på ex 1.6.2.
Mandag vil vi jobbe særlig med ex 1.6.2 og ex 1.6.3 . Den beste forberedelse er nok å lese første del av beviset for Thm 1.6.1 fram til ex 1.6.2.
KR