Hvor nøyaktig er simulasjonen?

Tidligere så vi på solsystemet vårt:

Her har vi simulert banene ved hjelp av numerisk integrasjon. I rakett-oppskytningssimulasjonen brukte vi Euler-Cromer for å numerisk beregne banen til raketten. Det vi bruker nå er mer passende til til planetbaner, nemlig Leapfrog. Euler-Cromer er bygd på at \( a_i \Delta t = \Delta v_{i+1} \) og videre \( v_{i+1} \Delta t = x_{i+1} \), altså at akselerasjon ganger tid er fart og fart ganger tid er strekning. Leapfrog har samme grunnlaget, men istedefor å gå direkte fra dette tidssegets akselerasjon til neste tidsstegets hastighet, så deler Leapfrog integrereingen opp i to idssteg som er litt forskjøvet fra hverandre. Hastigheten er nemlig forskjøvet med et halv tidssteg, slik at \( v_{i+½} = v_{i-½} + a_i \Delta t  \). Dette gjør at oppdateringene hopper over hverandre, og dermed navnet Leapfrog. Den viktigste faktoren for at vi bruker leapfrog er at de bevarer energiene til planetbanene! Over tid vil Euler-Cromer miste energi, slik at etter nokk tid kræsjer planetene inn i solen, mens Leapfrogs baner vil bare fortsette å snurre og snurre og snurre... Nå må vi sjekke at banene vi simulerte faktisk er nøyaktige!

En av størrelsene vi kan sjekke for å se hvor nøyaktig simulasjonen er, er å se på perioden til planetene. Vi kan altså sammenligne den analytiske verdien og den numeriske. For å finne perioden i den numeriske løsninge, kan vi finne hvor planeten skifter fra å bevege seg mot stjernen, til å bevege seg fra stjernen. Dette skjer en gang per periode, så vi kan se på tiden planeten bruker fra en slik til en annen, og sammenligne dette med Keplers tredje lov i jordboer-enheter, slik som i en tidliger bloggpost, og får

\( forskjell = a_{analytisk}^3-P_{numerisk}^2\) .

Herifra, kan vi justere tallene på planetene, så de er det samme som det vi brukte i "Hvor er vi" delen, altså sortert etter avstand på sola, alle følgende tabeller vil anta denne konvensjonen. En ting til vi må ta hensyn til før vi sammenligner dataen er at rene tall gir oss ikke mye informasjon om nøyaktighet, men forholdstall hjelper veldig. Hvis man måler lengden fra Oslo til Trondheim, så er en usikkerhet på 10 meter veldig nøyaktig, men en helt enorm usikkerhet hvis du skal måle høyden din! Derfor ser vi heller på prosentandel feilen, gitt ved  \( \% forskjell = \frac{forskjell}{a_{analytisk}^3} \dot 100  \). Dermed får vi:

Oi! Dette var store avvik! Noe som vi kan merke oss er at det alltid er like stort avvik, noe som tyder på at vi har en eller annen faktorfeil. Hvis vi hadde hatt et annet problem i fysikken vår, så hadde prosentene mest sannsynelig vært forskjellig fra planet til planet. Det viser seg at Keplers tredje lov har ett problem, nemlig at han kun så på jordboenes solsystem! For perioden og halvaksen er gitt i jordboerenes system vil denne regelen gjelde, men hvis du konverterer til vår avstand fra solen og lengden på vårt år, gjelder denne regelen fortsatt. Det er kun en konverterinsfaktor mellom dem. Siden vi brukte jordboerenes tall for våre verdier, er det ikke rart vi får feil! Newton fra jorboer-systemet innse også dette, og lagde derfor en korrigerende versjonen av loven, nemlig:

\( P^2 = \frac{4 \pi }{G (m_{\odot} + m_p)} a^3 \)

Her er \( m_{\odot} \) massen til stjernen objektet går rundt i jordboer-solmasser, \( m_p \) er massen til planeten også i jordboer-solmasser. Siden \( m_p \) er veldig mye mindre enn \( m_{\odot} \), får vi en velid lik faktor for alle planetene. \( G \) er gravitasjonskonstanten med dimensjonene \( AU^{-3}yr^{-2}kg^{-1} \). Noe interessant som dette utrykket viser, er at for å få at perioden skal være ett år ved 1 AU, altså noe den må være for planeten man definerer AU, \( m_{\odot} \)og yr fra, får man at \( G = 4/pi AU^{-3}yr^{-2}kg^{-1} \). En annen konsekvens av dette er at uansett hvilket solsystem du tar utgangspunkt i, vil den ved kun bruk av observasjoner gi Keplers lover i det systemets enheter (altså det systemets AU, yr og \( m_{\odot}\). 

Når vi bruker den korrigerte versjonen av uttrykket , får vi da feilene:

Avvikene her er mye mindre! Målet er å holde forskjellene under 1%, så alle tallene her er gode. En annen ting vi ser er at avviket vareierer fra planet til planet. Dette kan være forårsaket av unøyaktighet i simulasjonen vår. Når vi simulerer systemet, antar vi mange små tidssteg med rett-linjet bevegelse, så når planetene har større og større periode, så får vi også en mindre og mindre nøyaktig simulering. Her er planet 4 den mest unøyaktige, og det er også planeten lengst unna stjernen (se tidligere bloggpost). Planet 0 sitt avvik er mye mindre enn de andre, noe som vi ikke vet hvorfor da den ikke er unik på noen annen måte enn at et er hjemstedet vårt. En annen ting ved tabellen er at forskjellen i unøyaktighet ved siste omgang er liten, selv etter hundre perioder for planet 0, som tyder på at vi har en relativt stabil simulasjon, altså en simulasjon som taper lite nøyaktighet over tid. Selv med den litt større unøyaktigheten til planet 4, og planet 0 har mye lavere avvik enn resten, peker disse resultatene mot at simulasjonen vår er relativt nøyaktig siden alle avvikene er under 1%. 

Vi har fortsatt bare sjekket en størrelse, så simulasjonen vår kan være unøyaktig på andre måter. En annen størrelse vi kan se på for å sjekke hvor nøyaktig simulasjonen vår er, er Keplers andre lov. Hvis vi husker tilbake til en tidligere bloggpost så husker vi at den sier at \( A_{t_1»t_2} AU^2 = A_{t_3»t_4} AU^2\), gitt at \( t_1yr-t_2 yr = t_3yr -t_4 yr\). I ord: at arealet sveipet ut av linjen mellom planeten og stjernen er den samme for alle like store tidssteg. Vi kan beregne dette ved å ta summen av alle trekanter som blir utspent av planeten, slik at 

\( A_{\Delta t} = \sum_{i=t_1}^{t_2} A_{trekant_i} \)

der \( A_{\Delta t}\) er det totale arealet utspent iløpet av tiden \( \Delta t \) rundt enten apoapsen eller periapsen i AU², og \( A_{trekant_i}\) er arealet til den i-ende trekanten vi simulerte, også i AU². Samme som tidligere kan vi få en feilandel i prosent ved å ta en minus arealene delt på hverandre, som gir oss :

Tallene i tabell 3 er svært nøyaktige, langt mindre enn 1%, og tyder dermed på at simulasjonen vår er nøyaktig. Her sammenligner vi arealet sveipet ut i ett tidsintervall ved både den minste og største avstand fra stjernen iløpet av de hundre periodene vi simulerer.  Dermed viser ikke avviket vårt bare nøyaktigheten av simuleringen, men også stabiliteten, da vi sjekker de mest ekstreme forskjellene mulig. Andre størrelser vi kan sjekke for å verifisere disse resultatene, er hastighetene til planetene iløpet av utsveipingen, og avstanden den bevegde seg. Vi forventer at begge disse størrelsene er mindre ved periapsen enn ved apoapsen. Når vi henter tallene fra simuleringen, får vi:

I tabell 4 og tabell 5 ser vi at tallene er mindre ved periapsen enn ved apoapsen, som virker rimelig. En ting å merke seg er at siden forskjellene på tallene er så små, viser det oss at vi har planetbaner med relativt lav eksentrisitet. Disse tallene tyder på at simulasjonen vår gir fysisk mening, altså at den gir oss tall som gir mening.

En ting til som er verdt å nevne er at selv når vi tidobler tidsstegene per år (siden den numeriske integrasjonsmetoden vi bruker tilnærmer Riemannssummer med en endelig liten \( \Delta t \), vil presisjonen til simulasjonen være avhengig av størrelsen til  \( \Delta t \). Jo mindre  \( \Delta t \), jo større presisjon), så får vi en forskjell som er fem størrelsesordner mindre enn tallene vi ser på. Dette tyder på at integrasjonsmetoden vår ikke inneholder avvikene, men at de mest sannsynelig blir lagt til andre plasser i simulasjonen. Selv med disse funnene, burde simulasjonen vår være nøyaktig nokk, da vi prøver å nå avvik under 1%, og vi har som regel langt mindre enn det. 

Med de lave avvikene i tabell 2, 3, 4 og 5, kan vi si at simulasjonen vår er nøyaktig nokk.