Før vi begynner må vi først snakke om en stor antagelse vi brukte i forrige del. Vi er i et 3 dimensjonalt rom, som fører til at metoden vi utviklet vil ofte ikke fungere. For at det skal fungere må vi ha et solsystem som ligger parallelt med synspunktet vårt. Hvis dette ikke er tilfelle kan vi ikke se formørkelser, og da vet vi ikke hvilken vinkel det ligger på. Dette betyr at vi ikke kan bruke antagelsene våre. Dermed trenger vi å finne et solsystem der dette er tilfelle, ved å finne en formørkelse. Vi trenger også hastigheten, men dette kan ta mange hundre år å lette etter, da vi trenger data over lang tid. Etter å ha kontakta andre forskere med historisk data over langvarig tid, fant vi et system med riktig vinkel og nok data for oss å analysere. Etter å analysere dobbler shiftet i lys som vi predikerte i planetjakting, for vi følgende kurve for hastigheten til stjernen deres:
Når gjelder det å finne avviket fra gjennomsnittet: dette vil være grunnet tyngdekraft fra en planet i systemet. Men da må vi først finne en måte å kunne bli kvitt alt støyet. Dette gjør vi ved å lage en modell. Modellen vi lager bruker "minste kvadrat", dette vil si at for hvert datapunkt, sammenligner vi modellen vår med angitt datapunkt, kvadrer den, og legger sammen dette for alle datapunkter. Vi vil da velge modellen som minimerer denne verdien som mye som mulig. Vi antar først at dette skal være en trigonometrisk funksjon, gitt formen på grafen, og faktumet at dette kommer til å være periodisk fra teorien vår, siden vi har faste baner. Dermed kan vi anta at vi skal ha en modell ved formen:
\(v = v_m \times sin(\frac{2 \times \pi}{p} \times t - t_0) + v_a \)
Der Vm er maks hastighetsavvik fra gjennomsnitt, p er periode, v_a er hele solsystemets hastighet mot eller fra oss, og t0 er initialverdien. Dette er mange mulige verdier, gitt at ingen funksjon her vil perfekt matche med punktene. Da kan vi få datamaskinene til å kjøre tallene med ulike verdier, for å finne en modell som minimerer kvadratforskjellen.
Her er modellen vi ender opp med fra dette. Tallene vi får for modellen er:
\( V_* \) = 0.00126 AU / yr
p = 177.37 yr
t0 = 51.58 yr
Va = -0.422 AU/yr
Forskene vi kontakta hadde også massen til stjernen, som var: \(m_* = 3.34 m_\odot\). Siden denne farten kun er den delen av farten som beveger seg direkte mot oss, vet vi ikke om dette er den faktiske maksimale verdien. vi ser på denne stjernen ovenfra, ville den fakisk sett ut som om den står stille! Men hvis vi ser at vi får en eksoplanet-formørkelse, da vet vi at vi ser på solsystemet deres direkte fra siden, som betyr at denne hastigheten er makshastigheten for stjernen. Nå kan vi begynne å se på planeten med tyngdekraften som ga oss disse verdiene. Først, la oss se på hvordan vårt eget solsystem ville sett ut.
Her ser vi hva noen langt unna ville sett når de observerer vår planet skape en formørkelse med stjernen vår. Her ser vi det samme konseptet vi snakket om i planetjakting! Største forskjell er at her har vi ikke fine rette streker. Dette forekommer i det meste data man samler i virkeligheten; verden er bare ikke perfekt. Ikke konstant fluks, måleapperat, og mange andre faktorer kan føre til støy i kurven. Dette blir et problem for senere, men nå vet vi hvertfall hva vi ser etter, en kurve som dette, med litt støy.
Her ser vi samme type kurve, også med lignende støy. Supert! Da vet vi at vi står sidelenengs med systemet, og dermed er \( v_* \) makshastigheten. Videre skal vi unersøke størrelsen til eksoplaneten, og demed trenger vi hastigheten til planeten, men da trenger vi først massen til planeten. Massen til planeten kan vi regne ut med informasjonen vi har allerede, og noe komplisert bevis for å få oss dit. Ligningen kommer fra Keplers 3. lov og blir \( m_p = (\frac{p}{2\pi G})^{1/3} m_*^{2/3} v_*\), der p er perioden i år, G er gravitasjonskonstanten, \( m_*\) er massen til solen i solmasser og v er hastigheten i AU/år. Sluttresultatet av dette blir en planetmasse på ca. 0.0020 solmasser.
\(v_p = v_* \frac{m_*}{m_p}\)
Der Vp er hastigheten til planeten, m* er massen til solen, mp er massen til planeten, og v* er hastigheten til sola, grunnet trekk fra planeten. For den siste bruker vi Vm fra tidligere, da vi antar at maks verdien i radiell hastighet er den samme som i alle andre retninger. Denne antagelsen funker perfekt om det er en helt sirkulær bane, og små avvik fra en sirkulærbane vil gradvis endre hvor stor forskjell dette tilgir. Gitt hvor små essentrisiterer forskerene våre har målt i vårt eget solsystem, antar vi at denne antagelsen ikke vil føre til unøyaktig resultater.
Fra dette får vi at hastigheten til planeten er 2.1 AU / yr.
Nå an vi bruke grafet ovenfor for å estimere radiusen til planeten. Etter å studere grafen nærmere og se på når verdiene endres, konkluderte vi at endringen i forørkelsen skjer over en periode mellom 0.0032 år til 0.0040 år på grafen. Med dette har vi altså at planeten dekket sin egen diameter på 0.0008 år, med en hastighet på 2.1 AU per år. Altså:
\(2r = 0.0008 \times 2.1\)
Da får vi at radiusen er 0.00168 AU, altså ca. 125,000 km.
Dette resultatet forvirret forskerene våre i en stund. Vi har enten funnet en helt gigantisk planet, eller så er noe merkelig med metoden vår. Etter å ha gått over tallene gjentatte ganger, finner vi ikke noe metodologisk eller numerisk feil i metoden vår, og vi må anta dette stemmer, eller at det er noe merkelig med fluksmålingene våre. Dermed kan dette tyde på at de som sendte Voyager 2-planeten ikke kom fra denne planeten, da det er en gassplanet og ingen kjent livsform som kan overleve på gassplaneter. Derfor skal vi i neste del snu oss tilbake til solsystemet vårt!