I en tidligere bloggpost fant vi den analytiske løsningen for en ellipse med hensyn på vinkelen \( \theta \) . Det hjalp oss finne hvordan banene ser ut, og hvor vi forventer å finne planetene våre. Så tar vi målinger med satelitten vår, og finner hastighetene og posisjonene akkurat nå, og bruker det jordboerene kaller Newton's ligninger for gravitasjon. Spesifikt brukte vi at:
\( \vec{a} = - \frac{G m_*}{ r^2 } \vec{e_r} \)
der \( \vec{a} \) er akselerasjonen på planeten, \( m_* \) er massen til solen, r er avstanden fra planeten til solen, og \( \vec{e_r} \) er retningsvektoren til \( \vec{r} \) (vektor med retningen til \( \vec{r} \) med størrelse 1). Her ser vi at akselerasjonen er avhengig avstanden til solen, men ikke retningen.
For å simulere posisjonen til alle planetene, kan vi late som at vi sitter på solen og ser rundt i solsystemet. Dette kalles å være i solens refeansesystem. Faktisk er vi alltid i et referansesystem, fordi hastighet er relativt! Hvis du er i et helt tomt univers og det ikke er noe annet en deg, gir ikke konseptet hastighet noen mening! Kanksje du ser for at du fortsatt kan bevege deg i "rutenettet" til universet, men da beveger du deg i forhold til rutenettet!
Da slenger vi opp en solstol på solen, tar frem den fortsatt kokende kaffen som solen varmer, og ser på planetene i solsystemet som i figur 1.
Så simulerer vi hvor de kommer til å være ved en vilkårlig tid. Dette gjør vi ved å bruke hva posisjonen, hastigheten, og radiusen er ved et tidspunkt, se på et lite tidssteg, og hvordan posisjonen og hastigheten endrer seg ved aksellerasjonen, regnet ut ved formelen overnfor. Vi repeterer dette for mange tidssteg, i mange, år, for alle planetene. Her er det vi ender opp med:
Simuleringen ser kanskje ut som den stemmer helt overens med den analytiske løsningen, men uten å undersøke forskjellige størrelser vet vi ikke hvor nøyaktig simuleringen er! Det kan hende at planetene går rundt solen mye raskere enn de skulle på en sånn måte at banene ser rett ut, men at de ikke er der vi forventer at de er! De senere postene skal vi undersøke simulasjonen vår nærmere.