Du har kanskje hørt om Newtons tredje lov, at kraft er lik motkraft. Så hva skjer hvis vi flytter oss til ett perspektiv der massesenteret er i midten og ikke kan ignorere motkraften lengre? Men først av alt, Massesenter er et ord du kanskje har hørdt om før, men hva er det? Massesenter er rett og slett ett punkt som er den vektede gjennomsnittet på linjen mellom to punkt. Hvis du tenker deg en planet og en måne, vil massesenteret ligge på en rett linje mellom dem og nærmere den store planeten enn den mindre månen. Du har sikkert opplevd det i dagliglivet også, når du balanserer noe oppe ett fat eller en plate, må du holde under massesenteret for at platen ikke skal vippe. Matematisk blir massesenteret uttrykt som:
\( \vec{R} = \sum_{i=1}^n\frac{(\vec{r_1}m_1 + \vec{r_2}m_2 + … + \vec{r_n}m_n)}{m_1+m_2+…+m_n} \)
der \( \vec{R} \) er massesenterets plassering, \( \vec{r_n} \) er posisjonen til objekt n, \( m_n \) er massen til objekt n. Slik får vi en posisjon i rommet hvor massesenteret ligger. Det som er nyttig med det er at vi vet at så lenge det ikke er noen ytre krefter, vil massesenteret ikke ha noen akselerasjon. Dette kommer fra Newtons tredje lov, der kreftene mellom massene vil kanseleres ut når vi ser på hele systemet, da de påvirker hverandre med nøyaktig lik størrelse kraft.
Istedefor å late som at vi sitter på solen, kan vi nå gå over til å se på ting fra massesenterets perspektiv. Da vil ikke lengre solen stå i ro, men den vil gå rundt, med massesenteret som en av fokusene. Når vi bytter referansesystem, må vi også huske på å korrigere for farten, som er den deriverte av posisjonen: \( \vec{r}'(t) \). Så simulerer vi solen og planetens påvirkelse av hverandre og får:
Hvis vi zoomer inn på solens bane, ser den slik ut:
Disse bevegelsene er faktisk målbare for folk i andre solsystemer! Hvis de ser på solsystemet vårt direkte fra siden, slik at det ser ut som en disk, kan de (som diskutert i tidliere bloggpost) finne ut av hvor fort stjernen går rundt, ved å se på doppler-effekten. Dette betyr at vi kan simulere hvordan en annen sivilisasjon ville sett på vårt solsystem! Før vi går videre med dette, må vi se på hvor nøyaktig simuleringen vår faktisk er. Vi vet at energien til ett tolegeme-system er gitt ved:
\( E = ½ \mu v^2 - \frac{G \mu M}{r}\)
Her er \( mu \) noe som er kalt den reduserte massen, gitt ved \( \frac{m_1 m_2}{m_1 +m_2} \) og M er summen av massene. Den reduserte massen er en variabel som dukker opp gjentatte ganger i mekanikken, og spesielt i planetbaner. Fordi vi snakker om graitasjon, er er energien bevart, så la oss se hvor godt den er bevart her.
Oi! Denne ser ikke helt bra ut! Her har vi reativt store avvik! Vi har desverre ikke klart å nøset opp i hvorfor vi fikk feil. Vi prøvde å tidoble antal tidssteg per tidsenhet, men da fikk vi nøyaktig like store feil. Det som er positivt med denne simulasjonen er at den er veldig stabil, og selv etter tusen år er det nesten ingen endring. Selv om den ikke er helt ok, kan vi bruke den til å i alle fall få en idé til hvordan radiell hastighetsplott ser ut.
I figur 4 kan man se en radiell hastighets-plot. Her ser man altså kun bevegelsen til stjernen fra eller mot oss. Hvis vi ser på denne stjernen ovenfra, ville den fakisk sett ut som om den står stille! Men hvis vi ser at vi får en eksoplanet-formørkelse, da vet vi at vi ser på solsystemet deres direkte fra siden, som betyr at toppen av kurven er makshastigheten for stjernen. Vi kan også se at selv om vi introduserer flere legemer i en n-to-legeme-simulasjon, altså en simulasjon som beregner kreftene mellom solen og alle planetene, får vi en relativt lik kurve. Her har vi valgt å se på de tre ytterste, og desidert største, planetene, da de vil ha mest påvirkinng på solen vår.
Figur 5 ligner veldig på figur 4, da vi kan se det er hovedsakelig en planet, nemlig planet 8, den ytterste og største, som har størst innflytelse på solen. Det er også denne romvesener vil mest sannsynelig legge merke til.
For å få oversikt av n-tolegeme simulasjonen, kan vi se på den i figur 6:
Her er avvikene faktisk så store at du kan se dem herfra! la oss ta en nærmere titt på solen for å se om vi kan forså hva som er galt med simuleringen.
Oioioi! Her beveger jo solen seg over tid, når den burde stå stille! Hvis vi henter ut massesenter-beregningen på slutten, får vi at iløpet av 100 år har den beveget seg 0.00944 AU! Vi tror et mest sannsynelig kommer av at planet-planet påvirkinngene er sterke siden vi har ett så lite solsystem. Dette er noe massesenteret og initialastighetene potensielt tar stilling til, da planetene påvirkes av hverandre.
Men nå skal vi videre å se på planeter utenfor solsystemet vårt!