Når vi skal gå fremm for å lage en mer nøyktig modell, må vi prøve å fjerne så mange antagelser som mulig. For eksempel i den tidligere temperaturmodellen vår tok vi å antok at temperaturen overalt på overflaten er lik. Hvis vi kikker ut vinduet vårt, vet vi at dette ikke er sant. Dermed tenkte vi å ta utgangspukt i noe som er nesten helt nøyaktig, nemlig at den totale endringen i energi for ett område må være null. Sagt med andre ord, temperaturen på samme tid på dagen over lengre tid burde gjevne seg ut. Nå antar vi at vi ikke har sesonger, men forskjellen fra en dag til en annen vet vi fra virkeligheten ikke skal være så stor. Dermed vet vi at for ett lite areal på planeten, dA, har vi at:
\( \sum_{t=0}^{\frac{1}{\omega}} P_{ut}(t) = \sum_{t=0}^{\frac{1}{2 \omega}} P_{inn}(t) \)
Her er \( P_{inn}(t) \) inkommende effekten fra solen i watt ved et tidpunkt t, \( P_{ut}(t) \) er energien strålt ut av areralet dA ved et tidpunkt t, \( \omega \) er omdreininger per sekund, nemlig hvor stor andel av en full rotasjon planeten gjør per sekund. Legg merke til at vi summerer den innstrålte effekten i bare halvparten av tiden til den som stråler ut fordi solen lyser bare halvparten av dagen, mens utstrålingen skjer hele tiden. I utrykket over summerer vi all effekten som kommer inn iløpet av et lite tidsintervall. Hvis vi gjør det tidsintervallet uendelig lite, får vi at det blir to integraler istedetfor (Riemann-summer).
\( \int_{t=0}^{\frac{1}{\omega}} P_{ut}(t) dt=\int_{t=0}^{\frac{1}{2 \omega}} P_{inn}(t) dt \)
Men her har vi effektene! Vi er jo interesserte i temperaturen. Derfor kan vi bruke Stefan-Boltzmanns lov for sorte legmer her også. Som vi diskuterte tidligere, er det å anta sorte legemer en nogenlunde nøyaktig antagelse. Men selv her med minst mulige antagelser, må vi fortsatt ha noen begrensinger. Den første er at, som vist i figur 1, vi skal spesifikt se på dA ved ekvator. Da slipper vi å ta med krumningen til kulen i tre dimensjoner, siden den blir funksjonelt det samme som siden på en flat disk. Hvis vi nå skal se på mengden energi som kommer inn basert på vinkelen, vet vi at vi får en faktor på \( \sin (\theta) \) der \( \theta \) er vinkelen som sett i figur 1. Vi kan sjekke om dette gir mening, med å se at når arealet står 90 grader på solens stråler, treffer ingen av solstrålende overflaten, og vi får \( P_{inn} = 0\). Hvis vi ser på når den står midt mot solen får vi at krumningen ikke spiller rolle i det hele tatt, altså at \( P_{inn} = dA \dot \space f\) der f er fluksen fra solen. Dette stemmer overens med sinusfunksjonen.
[FIGUR 1]
Her gjør vi også en del antagelser, for eksempel at temperaturen på samme tidspunkt på dagen er lik for alle dager. Grunnen til at vi kan gjøre en slik antagelse og fortsatt få en mer representativ modell, er at da slipper vi den mye større antagelsen, nemlig at alle plasser på planeten er like varm. I tilegg er vi interessert i å se hva temperaturforskjellen er på natten og på dagen for å se om liv faktisk kan overleve, og det er ikke representert i den andre modellen vår.
En annen ting vi må tenke på er forskjellen på siderisk tid og sol tid. Grunnen til at vi må vite denne forskjellen er at vi antar at en hel rotasjon er fra soloppgang til soloppgang, men vi har bare dataen i sideriske dager. Siderisk tid er tiden det tar for planeten å gjøre en hel rotasjon iforhold til fjerne stjerner, mens soltid er fra solen er midt på himmelen, til solen er midt på himmelen. Det som gjør forskjellen er at iløpet av en dag har planeten bevegd seg, slik at den må rotere enda litt lengre for å ha solen på samme plass på himmelen. Dette er vist i figur 2. En annen måte å tenke på det, er at iløpet av et helt år er det en siderisk dag mer enn soldaer, fordi vi har gått rundt solen en hen gang. På jorden, er det ~24 timer fra solen står opp til solen står opp igjenn, mens i forhold til de fjerne stjerene er tiden 23t og 56min. En liten forskjell, men siden vårt solsystem er så mye mindre, vil denne effekten bli større. For å beregne dette, kan vi utnytte faktumet at antall sideriske dager per år er en mer enn antall soldager, og dermed får vi: \( t_{soldag} = \frac{t_{siderisk}}{1 - \frac{t_{siderisk}}{t_{år}}}\) der \(t_{soldag} \) er lengden på en soldag, \( t_{siderisk} \) er lengden på en på en siderisk dag, og \( t_{år}\) er tiden planeten bruker på en runde rundt stjernen.
[FIGUR 2]
For vår planet får vi at en soldag er ca 30 minutter lengre. Dette er ganske forventet, da vi ligger mye nærmere solen, som medfører kortere år, og de sideriske dagene våre er ca like lange som jordens soldager. PUTT INN TALL HER
Hvis vi nå går tilbake til det originale uttrykket, og setter inn stefan-boltzmann's lov i integralene og den korrigerende sinusfaktoren, får vi:
\( \int_{t=0}^{\frac{1}{\omega}} P_{ut}(t) dt=\int_{t=0}^{\frac{1}{2 \omega}} P_{inn}(t) dt \)
\( \sigma \space dA \space \int_{t=0}^{\frac{1}{\omega}} {T(t)}^4 dt= \sigma \space dA \space T_s^4 (\frac{r}{R})² \int_{t=0}^{\frac{1}{2 \omega}} sin(\omega \dot \space t) dt \)
Her har vi gjort om \( \theta \) til \( \omega \) og t, fordi \( \omega = \frac{\theta}{t} \) er dens definisjon, nemlig vinkelendring per tid. Problemet er a dette utrykket gir oss ikke en gyldig løsning for T(t), da etter massering og variabelbytte får vi:
\( T(t) = (T_s^4 (\frac{r}{R})² 2 \sin(\omega \dot \space 2t))^{\frac{1}{4}} \)
Problemet her er at når planeten roterer til natten, blir sinus-funksjonen negativ, og vi får fjerderoten av et negativt tall. Det er ikke en temperatur som gir mening! Vi har prøvd å finne en løsning på dette, men vi har ikke klart å komme framm til noe. Vi har til og med spurt om andre forsker-team kan hjelpe oss løse denne, men ingen klarte å finne ut av det. Derfor kan vi desverre ikke bruke denne modellen for dag/natt teperatur. Når man utforsker, forske og modellerer, så er det ikke sikkert at man kommer fremm til ett svar. Dette er et prakteksempel på det.