På satelitten vår har vi ett kamera. Vi starter med problemstillingen hvor nærme planeten må vi være for at planeten skal kunne dekke mer eller lik en hel piksel, slik som sett i figur 1? Når noe dekker en hel piksel eller mer, kaller vi objektet for oppløst. Det første vi lurer på er hvor stor buelengde objektet har for enhver avstand.
Buelengde er bare størrelsen på vinkelen i radianer som utspenner ett objekt. Ett eksempel er at for en jordboer, hvis de går ut og strekker ut handen sin, så har deres sol og deres lillefinger like stor buelengde, selv om jordboere er veldig mye mindre enn solen. For å finne denne vinkelen, merket med \( \theta \), kan vi gjøre slik som i figur 2, å bruke trigonometri for å finne uttrykket for buelengde.
Det neste steget er å se på oppløsningskraften til kameraet. Hvis vi har ett veldig dårlig kamera, vil vi måtte være nærmere enn hvis vi har ett mer nøyaktig kamera. Det er rett å slett buelengden hver piksel dekker som bestemmer hvor nøyakig det er. Som illustrert i figur 3, er dette gitt ved \( \frac{F^2}{P^2}\) som er lik \( \frac{F}{P}\), hvor F er buelengden kameraet ser i radianer, og P er antall piksler i på en rad. Her antar vi da at bildet vi tar er kvadratisk, og ikke rektangulært. Det dette viser oss at vi kan løse opp blir mindre buelender (bedre oppløsning) ved å a flere piksler for samme totale synsfeltet, eller ved å ta lys fra ett smalere område ved å for eksempel legge på ett teleskop på enden av kameraet vårt.
Dermed har vi fra figur 2 og figur 3 at
\( \frac{F}{P} \approx \frac{R}{L} \)
slik at hvis vi skal se på maksimum avstand, får vi
\( L \lesssim \frac{RP}{F} \)
La oss sjekke om denne gir mening. Hvis vi senker F, ved å for eksempel legge på ett teleskop, får vi at vi kan være lengre unna og fortsatt løse opp planeten, som gir mening. Hvis vi har færre piksler, eller mindre radius, får vi at vi må komme nærmere planeten for at den skal kunne dekke en hel piksel. Dette oppfører seg som i virkeligheten!
Her har vi gjort noen tilnærmelser. Den største tilnærmelsen er at for \( \theta \ll 1\) (veldig mye mindre enn 1), så er \( sin( \theta ) \approx \theta \) i radianer. Grunnen til dette er samme grunn til at derivasjon kan tilnærmes som mange små linære linjer. For det ekstremt lille området der \( 0 < \theta \ll 1\), er det en ganske nøyaktig antagelse. En annen tinærming vi har gjort, er at vi ser nøyaktig halvparten av planeten samtidig, slik at vi ser en disk med radius R. Det mest ekstreme moteksempelet er når du står på planeten, da du åpenbart ikke kan se halve planeten på en gang. Men hvis vi er langt unna, blir dette en ganske nøyaktig tilnærming. Fordi disse tilnærmelsene er nøyaktige på store avstander, blir dette en god modell for avstanden til oppløsningen.
Våre ingeniører har enda ikke gitt oss opplønsingskraften til kameraet vårt, da de ikke har laget det. Dermed kan vi ikke si noe nærmere akkuratt nå, men dette blir viktig for å kunne se at vi faktisk nærmer oss planeten vi valgte.