For å finne arealet, må vi først finne totalenergien som stjernen vår produserer. Deretter tar vi å finner enregi per areal for en vilkårlig avstand unna solen, og bruker til slutt energikravet til satelitten vår for å finne arealet med solcellepaneler som trengs for å holde satelitten vår igang. Da starter vi med å anta at stjernen vår er et sort legeme for å bruke Stefan-Boltzmann ligningen, som vi snakket om i bloggpost. Også som vi snakket om i bloggpost 1, er Stefan-Boltzmann ligningen for stjernen vår en god antagelse, slik at vi tar Fluksen fra dette uttrykket og ganger med areal for å finne totaleffekten:
\(P = \sigma T_s^4 A\)
Her er P energi per sekund (også kjent som effekt), \(\sigma)\ er stefan-boltzmann konstant, T er temperaturen til stjernen i kelvin, og A er arealet til overflaten av stjernen vår. Stjernen vår har en overflatetemperatur på 4526K, sammelignet med jordboer-systemet sin sol som er 5777 K ved overflaten. Dette virker kanskje ikke som en så stor forskjell, men husk her er strålingen oppøyd i fire, slik at i praksis blir jordboernes stjerne mye sterkere! A i vårt tilfelle blir overflaten til en kule, ettersom at vi ser på den totale overflaten av en stjernen. Uttrykket for effekt blir da:
\(P = \sigma \dot \space T_s^4 \dot \space 4 \pi R²\)
Her er R radiusen til solen. Som vi har nevnt i tidligere bloggposter, så er utgående og inngående fluks forskjellige. Fordi satelitten skal kunne være arbitrært lang unna, må vi ta hensyn til den tenkte større kulen som satelitten befinner seg på. Hvis vi husker fra sidesoret om kulekoordinater, kan et hvilket som helst punkt i 3d-rommet bli beskrevet som et punkt på en kule. Siden energi blir konservert, så vet vi at energien fra stjernen utgitt hvert sekund vil være lik energien fordelt overhele denne teoretiske kulen hvert sekund, slik vi ser i figur 1. Fordi vi er ekstremt begavede kunstnere, tenger vi figur 1 i 2d som en representasjon av 3d.
Da kan vi ta total effekten vi regnet ut tidligere og dele den på overflatsarealet til en kule:
\(f = \frac{\sigma T_s^4 4 \pi R²}{4 \pi r²}\)
Der f er utgående fluks og r er radiusen til den hypotetiske kulen. Her blir uttrykket vårt litt lettere ved elementær algebra:
\(f = \sigma T_s^4 (\frac{R}{r})²\)
Temperaturen og radiusen til stjernen vår er selfølgelig konstanter, så de kan vi. Dermed trenger vi kun å sette inn R som en ny verdi hver gang, også får vi ut fluksen på det punktet. Hvis vi nå velger oss ett areal i en avstand r fra solen, blir da er effekten av lyset som havner på solcellene våre lik:
\( P_{inkommende} = \sigma T_s^4 \frac {R_{\odot}^2}{r_p^2} \dot \space A_{solcelle} \)
Her er gjør vi to antagelser: en mer nøyaktig, en mindre. Det første vi antar, som ikke er helt åpenbar, er at alle punktene på de flate solcellepanelene er like langt unna sentrum av stjernen. Hva betyr dette? Hvis du ser for deg at du putter en liten ball på ett bord, så er det åpenbart at forskjellige punkter på bordet ikke er like nærme sentrum av den lille ballen; punktet ballen står på er bare en liten avstand r unna, mens hjørnet kan være optill flere ganger r. Men hvis du ser for deg at du putter bordplaten på jorden, er den relative forskjellen på det nærmeste punktet og punktet lengst unne veldig liten. Samme prinsippet gjelder for solcellene våre, vi tinærmer at hele flaten er like langt unna midten av stjernen. Nå er den kulen vi ser på mange hundre tusen ganger større enn jorden, og demed blir det en god tilnærming. Den andre antagelsen vi gjør, er at solcellene våre er 100% effektiv, nemligat all energi som treffer den blig gjort omm til strømm. Dette er desverre ikke sant, selv om det hadde vært veldig fint, da våre solceller bare gjør 12% av lysenergien om til strømm. Hvis vi nå modifiserer ligningen til å reflektere dette, får vi:
\( P_{strømm} = \sigma T_s^4 \frac {R_{\odot}^2}{r_p^2} \dot \space A_{solcelle} \dot \space 0.12 \) Siden vi er ute etter arealet, kan vgjøre litt algebra, slik at vi får løsnigen på størrelsen til arealet.
\( A_{solcelle} = \frac{W_{strømm} r_p^2}{\sigma R_{\odot}^2 T_s^4} \)
Fra våre ingeniører har vi at satelitten trenger 40 W for å holde seg gående. Dette tallet tar også med planetens dag/natt syklus, slik at energien den tar er mindre, men at hvis du ser på en dag/natt syklus, trenger den å samle 40 W iløpet av dagtid for å holde seg gående på natten. 40 Watt er ikke spesielt mye, en panelovn trenger rundt 1000W! Ingeniørene våre har vært gode på å minimere strømmbruk!
Nå kan vi sende ut en sattelitt til en planet med avstand r til solen vår og vite akkurat hvor store solcellepanel vi trenger for å kunne nå strømkravet vårt!