Keplers lover er et sett med tre lover som gjelder for planetbaner rundt en stjerne. Den første loven sier bare at planetene våre beveger seg i ellipser rundt sola, noe vi allerede er kjent med etter forrige innlegg. Det er de to siste lovene vi skal se nærmere på nå.
Keplers andre lov
Den andre og kanskje den mest berømte av Keplers lover sier at i løpet av et fast tidsintervall skal planeten sveipe over like mye areal, uansett hvor i ellipsebanen den er, slik som vi har illustrert i figur 1! Når vi skulle hente ut tallene for arealet som ble sveipet over i løpet av et fast tidsintervall sølte vi vann over datamaskinen og mistet dessverre vår data. Vi skal likevel forsøke å drøfte hvorfor Keplers andre lov er nyttig å se på for å avgjøre om banene vi har funnet oppfører seg "riktig".
Ideen når vi skal sjekke at Kepler andre lov gjelder for banen til vår planet er å finne ett areal i området nært sola, og ett når planeten var lengst unna sola. Hvis våre baner følger loven forventer vi at de to arealene skal være identiske!
Hvorfor er det egentlig sånn at arealet per tid som sveipes over i ulike deler av ellipsebanen er likt? Reiser ikke planeten mye lenger når den må ut i den lengste delen av ellipsebanen enn når den er nærme? Burde ikke dette arealet egentlig blitt mye større da? Dette er naturlige spørsmål å stille når man ser for seg ellipsebaner. Dette ville ha stemt hvis farten til planeten var lik hele tiden, noe som faktisk stemmer hvis banen hadde vært en sirkelbane. Det er en viktig forskjell når vi i stedet ser på elliptiske baner, og det har med energibevaring å gjøre!
Se for deg at du står på toppen av 5-metern og ser ned på vannet. Du vet at du som står på toppen har mer potensiell energi enn kompisen din som står nede ved vannet. Hva skjer når du hopper? Tyngdeakselerasjonen gjør at farten din øker og øker frem til du treffer vannet. Dette er energibevaring i live action! Den potensielle energien du hadde fordi du var 5 meter over bakkenivå overføres til kinetisk energi og fart. Akkurat det samme skjer for planetene ute i solsystemet vårt!
Når planeten er nærme sola vil den ha lite potensiell energi, men mye fart. Etter hvert som planeten beveger seg lenger unna sola i sin ellipsebane, vil noe av den kinetiske energien overføres til potensiell energi, og farten minker. Tydeligere variasjoner i fart betyr en tydeligere ellipsebane på samme måte som at lave variasjoner i farten til en planet betyr at banen er mer sirkulær. Dette kan vi faktisk se på figur 2 som viser plottet av farten for planetene i vårt solsystem. Variasjonen i fart er mest synlig og merkbar for planet nummer 3 i plottet. Vi forventer derfor at denne har den mest tydelige ellipsebanen. Dette ser vi at stemmer med et annet plott vi også så på i forrige innlegg, her under navnet figur 3.
Vi kan nå svare på spørsmålet om hvorfor arealet som er sveipet over burde bli likt i ulike deler av banen til vår planet! Farten er størst nærme sola og planeten rekke rekker å sveipe ut et areal som er kortere, men som til gjengjeld har større buelengde. Når planeten er i ytterste delen av ellipsebanen vil farten være mindre og arealet som sveipes over er langt i lengde, men buelengden er dermed mindre. Vi forventer med andre ord at gjennomsnittsfarten planeten har når den sveiper over arealet nær sola vil være høyere sammenlignet med området lenger unna sola. Distansen planeten har beveget seg i de to tidsintervallene vil også være større nærmere sola, for der har den størst fart. Nettopp dette er grunnet til at planeten når den er langt unna ikke sveiper over et areal som er større enn arealet nærme sola, selv om de beveger seg over samme tidssteg. Arealene blir like fordi farten til en planet endrer seg ut ifra hvor den er i ellipsebanen. Selv om vi ikke har data for arealene, kan vi sammenligne grafene over banene og farten til hver planet og se at disse tyder på at Keplers andre lov gjelder.
Keplers tredje lov
Heldigvis klarte vi å redde noe data ut fra maskinen vi sølte vann over! Vi har tallene for periodetiden og den semimajore aksen til hver planet. Disse tallene kan vi bruke til å sjekke om Keplers tredje lov gjelder for banene vi er kommet frem til! Den tredje loven til kepler forteller oss en sammenheng mellom periodetiden til planeten \(P\) og den semimajore aksen til ellipsen \(a\). Sammenhengen er som følger :\(P^2 = a^3\) Periodetiden er antall år planeten bruker på en runde rundt sola, og den semimajore aksen til ellipsen er halve lengden til den lengste diameteren i banen. Loven sier egentlig at hvis du deler den ene siden av likningen på den andre, skal vi få et forholdstall som skal gjelde for alle planeter i vårt solsystem, så sant vi har den riktige periodetiden og semimajore aksen. Hvis forholdstallet er likt for alle planeter, er dette altså veldig bra nyheter!
Våre verdier for de to størrelsene som inngår i Keplers tredje lov, samt nyttige resultater er vist i tabellen i figur 2 nedenfor:
Fra resultatene ser vi at den \(a\) henger veldig sammen med tiden planeten bruker på en runde rundt sola. Siden den semimajore aksen beskriver den største radiusen i banebevegelsen, kan vi ut i fra resultatene se at planetene med størst baneradius også bruker lengst tid på en runde om sola. Planet 5 har størst \(a\) med verdi på omtrent 2,7 AU, og bruker også lengst tid rundt sola med en periodetid på rundt 6,5 år. Forholdstallet gir oss massen til stjerna i solsystemet vårt! Hvis vi hadde vært i melkeveien og sett på banene rundt sola der ville forholdstallet ha blitt 1. Dette er fordi Keplers tredje lov baserer seg på observasjoner fra baner rundt stjerna i melkeveien, altså sola som har 1 solmasse.
Newton utledet fra sin gravitasjonslov en egen versjon av Keplers tredje lov. Newton tok hensyn til massene i to-legemesystemet i sin versjon: \(^2 = \frac{4 \pi^2 a^3}{G(m_{sol} + m_{planet})}\) , der \(G\) står for gravitasjonskonstanten, \(T\) periodetid for planeten og \(a\) er den semimajore aksen. Denne er mer nøyaktig da den tar hensyn til massene som er involvert i systemet. Konstanten i uttrykket avhenger altså av massene til legemene, noe den ikke gjør i Keplers originale lov. Dette betyr at den vil være spesielt mer nøyaktig enn Keplers i tilfellene der massen til planeten er stor. Newtons versjon gjelder altså for alle mulige systemer enten om det er en måne i bane rundt en planet eller en planet i bane rundt en sol. Når vi sjekker om denne versjonen gjelder i vårt solsystem forventer vi at venstre side av uttrykket skal være lik \(P^2\), men at \(P^2 \neq a^3\). Dette ser vi stemmer rimelig godt i tabellen i figur 3 nedenfor!
Resultatene vi har fått er forenelig med at både Keplers originale og Newtons forbedrede lov gjelder i vårt solsystem (Yay!).Vi ser i figur 3 at tallene for planet 2, 5 og 6 har litt ulike verdier. En feilkilde til hvorfor tallene ikke ble nøyaktig kan være knyttet til periodetiden i uttrykket vårt. Vi så på planetene sine bevegelser for en periode på 13 år. Som du kan se fra tabellen i figur 2 ga dette et veldig godt grunnlag for å beregne en gjennomsnittlig periodetid for noen av planetene. Ta vår planet (indeks 0) som eksempel: i løpet av 13 år vil planeten vår ha beveget seg hele 87(!) ganger rundt stjerna. Til sammenligning leser vi fra tabellen i figur 2 at planet 5 bare har opplevd 2 år (og runder rundt sola) på sin planet. Det betyr at usikkerheten når vi beregner gjennomsnittet er større når vi kun belager oss på to verdier, enn når vi baserer oss på 87! Vi kunne ha funnet mer presise periodetider og dermed fått et bedre periodetid-estimat ved å se på bevegelsene til planetene over en enda lenger periode. Numerisk støy kan også ha vært en feilkilde i vår data.