Når vi ser vårt 2-legemesystem fra referansesystemet til CM, altså punktet på den rette linjen mellom stjerna og planeten som begge roterer om, kan vi bruke følgende formel for å beregne totalenergien til systemet:
\( E_{tot}=\frac{1\mu v^2}{2}-\frac{GM \mu}{r}\)
I figur 1 heeelt i bunnen av innlegget ser du en oversikt over hva størrelsene i uttrykket for total energi i vårt 2-legemesystem står for. Det er også inkludert en utledning for hvordan vi er kommet frem til akkurat dette uttrykket, hvis du er spesielt interessert.
Plottene nedenfor i figur 2 viser den kinetiske- og potensielle energien for vårt 2-legemesystem over tid. Hvis vi sammenligner det øverste og nederst plottet ved samme tidspunkt, som for eksempel ved \( t = 0.5\), ser vi at den grafen til den potensielle energien er i et bunnpunkt når grafen til den kinetiske energien er i et toppunkt! Hvordan skal vi tolke dette, og hva er sammenhengen?
Vi starter med å se på grafen for kinetisk energi. I systemet hvor CM er i origo beskriver vi avstanden mellom stjerna og planeten som \(\vec{r}\). Det er endringen i avstanden mellom legemene vi beskriver når vi snakker om den totale farten i 2-legemesystemet. Hvis du ser nøye på den vertikale aksen i grafen for kinetisk energi ser du at toppunktet, og egentlig alle punkter, har en veeeeldig liten verdi. Alle verdiene for energi (som vi vet avhenger av fart) skal ganges med \( 10^{-11}\)! Du tenker kanskje at dette må jo være helt på bærtur fordi planeten og sola som system kan jo umulig ha så lite fart?! Vi må ikke glemme hva jeg startet dette avsnittet med, for her kommer det virkelig frem hvor viktig det er at vi leser av plottet riktig! Planeten og sola har jo ikke disse fartene, det vi ser på grafen er jo farten avstanden mellom sola og planeten endrer seg!
Okei, nå har vi sørget for at vi leser av plottet riktig, og lest av at det er avstanden mellom sola og planeten som endrer seg bare bittelitt. Kan du se for deg hvorfor vi får et så lite tall, hvordan bevegelsen da bør se ut? Hvis du sa at dette kan stemme overens omtrent med en sirkelbane så har du helt rett! Det er likevel naturlig nå å spørre seg om hvorfor bevegelsen fortsatt ligner en sirkelbane nå som planeten og sola beveger seg om et fell CM som står i ro. Det likner jo veldig på resultatet vi fikk når vi fant banene til planetene om stjerna, når stjerna var i ro? I forrige innlegg så vi at siden stjerna var skikkelig mye tyngre enn planeten, lå faktisk massesenteret inni stjerna. Dette betyr i praksis at sola nesten ikke beveger på seg i forhold til massesenteret. Dermed blir de nye banene ganske lik det samme banebildet som vi har sett før, men med små endringer. Da er det kanskje ikke så rart likevel at vi får dette plottet for kinetisk energi, eller hva synes du?
La oss nå se på grafen for potensiell energi i figur 2. Alle punkter på grafen har negativ verdi, hvorfor det? For et system av to legemer definerer vi nullnivå, altså der den potensielle energien for begge legemer er null, når de er uendelig langt unna hverandre. Dette betyr bare at når avstanden mellom stjerna og planeten blir kjempestor (uendelig stor) vil ikke tyngdekreftene til legemene lenger påvirke hverandre, og potensialet er null. Jo nærmere legemene kommer hverandre, desto mindre blir potensialet, altså et større (mer) negativt tall. Dette betyr altså at der den potensielle energien er mest negativ, er ved tidspunktet avstanden mellom legemene er minst, altså at stjerna og planeten er nærmest hverandre. Du lurer kanskje på hvorfor verdiene på denne grafen er så små? I uttrykket for potensiell energi regner vi massene til legemene i enheten solmasser. Stjerna i vårt system har omtrent 0,466 solmasser, og planeten har 0,000009 solmasser. Du har lært at når små tall ganges med hverandre får vi et enda mindre tall. Det er akkurat det som skjer i uttrykket vi jobber med, og grunnen til at grafen har så små verdier! Nå som vi er enige om at kurvene gir mening hver for seg, er det på tide å sammenligne dem.
La oss mimre tilbake til blogginnlegget om Keplers lover. Husker du vi snakket om hvordan farten økte når den potensielle energien minket i det du hoppet fra 5-metern? Og at vi kunne tenke på planetbanene på samme måte? Da husker du også at når en planet nærmer seg sola vil farten øke og den potensielle energien minke. Et toppunkt på den øverste grafen (kinetisk energi) betyr at farten til avstandsendringen mellom legemene størst, altså at de er på sitt nærmeste massesenteret, siden det er massesenteret begge legemer nå roterer om. Der avstanden mellom legemene er minst skal vi forvente at den potensielle energien er på sitt mest negative. Når vi for samme tidspunkter leser av grafene ser vi at når for kinetisk energi har toppunkt, har grafen for potensiell energi bunnpunkt (altså er på sitt mest negative)! Dette er akkurat det vi forventer for energien av vårt 2-legemesystem! Dette stemmer altså overens med banene vi fant og diskuterte i forrige innlegg-jippijahooo!
Hvis banen vi har funnet for 2-legemesystemet er riktig bør vi også ha at totalenergien for systemet er bevart. Energibevaring er forventet når to legemer går i 'stabile' baner rundt et felles massesenter, og ingen av legemene skal drifte bort. I figur 3 ser vi grafen for total energi i vårt system. Grafen for energi er konstant, akkurat slik vi forventer! Siden verdiene for både kinetisk energi og potensiell energi er veldig små, vil summen av dem ligge nær null. Vi leser også av fra grafene at verdiene for kinetisk energi var mye mindre enn tilsvarende verdier for potensiell energi (som var negative). Derfor vil også den potensielle energien dominere når vi plusser sammen verdiene, noe som resulterer i at linja for totalenergi legger seg litt under null. Dette kan vi se når vi zoomer inn på grafen for total energi, vist i figur 4.
.png)
