Forelesning onsdag 16.5: vi starter …

Forelesning onsdag 16.5: vi starter repetisjonsrundene. Torsdag er det grunnlovsdag. Oppgaver til tirsdag er som følger.

Extra 1: Vi har lagt inn "en time med Brownske bevegelser" i pensum. Vi sier at W er en Brownsk bevegelse med skalaparameter sigma dersom (i) W(0) = 0, (ii) W har uavhengige tilvekster, og (iii) W(t) - W(s) er normal (0, sigma^2(t-s)). Vis at W blir en Markov-prosess. Vis så at en sum av tre uavhengige Brownske bevegelser danner en ny Brownsk bevegelse.

Extra 2: (a) La X(t) være en Poisson-prosess med parameter lambda. La t0 være et vilkårlig valgt tidspunkt. Hvor langt er det til nærmeste Poisson-hendelse? Finn fordelingen for avstanden D fra t0 til denne nærmeste hendelse. (b) Gå på tur i en Poisson-skog, definert som en punktprosess der antall trær i ikkeoverlappende områder er stokastisk uavhengige og Poisson-fordelte med parametre lik lambda ganger arealet av området. Finn fordelingen til avstanden D fra et vilkårlig valgt fast punkt i skogen til nærmeste tre. (c) Sett deg i en romrakett og dra til kosmos, der posisjoner av stjerner danner en tre-dimensjonal Poisson-prosess med rate lambda stjerner pr. volumenhet (for eksempel kvadratlysår). Fra en vilkårlig valgt posisjon i universet, finn fordelingen D til nærmeste stjerne. (d) For de tre situasjonene over, finn også fordelingen til D2, avstanden til det nest nærmeste punkt.

Extra 3. La X(t) være en tidsinhomogen Poisson-prosess, med rate lambda(t) ved tid t. Dette betyr at tilveksten X(t + Delta t) - X(t) er Poisson-fordelt med parameter lambda(t) Delta t + o(Delta t). Finn forventning og varians for X(t).

Extra 4. Se på en fødsels- og død-prosess med tidsavhengige rater lambda(i) = i lambda(t) og mu(i) = i mu(t). Lag en differensialligning for m(t) = EX(t), og finn så m(t).