Dette er en oversikt over hva jeg har gjort på forelesninger, og hva jeg planlegger å gjøre på fremtidige forelesninger. Du finner også mine egne notater for forelesningene.
| Uke | Pensum | Innhold |
|---|---|---|
| 18/8–24/8 | 0–1.3 | Mandag: Introduksjon, repetisjon fra MAT1105 og noe notasjon. Vi begynte på Sek. 1.1 og fikk sett på noen av eksemplene på vektorrom. Tirsdag: Matrisenotasjon. Flere eksempler på vektorrom. Torsdag: Definisjon av underrom, lineærkombinasjon, spenn, og lineær (u)avhengighet. Vi så også flere eksempler på vektorrom, underrom, vektorlister og spenn. |
| 25/8–31/8 | 1.4–1.6 | Mandag: Vi definerte basis og dimensjon. Tirsdag: Tok for oss den kanoniske basisen og Newton-basisen. Fant et generelt uttrykk for basisrepresentasjonen av et polynom i den kanoniske basisen ved hjelp av taylorkoeffisienter. Torsdag: Gjorde ferdig Sek. 1.5 (Lagrange- og Legendre-basiser) og gikk gjennom Sek. 1.6 (sum og direktesum av vektorrom). Sistnevnte kommer vi tilbake til i Sek. 2.8, og begrepet "direktesum" vil da forhåpentligvis gi mer mening. |
| 1/9–7/9 | 2.1–2.3 | Mandag: Sek. 2.1–2.2: Lineære avbildninger, bilde og kjerne. Vi så på flere eksempler. Beviste Dimensjonssatsen fram til og med beviset for at listen spenner U. Torsdag: Gjorde ferdig beviset for Dimensjonssatsen og så på et eksempel med en lineær avbildning gitt av en matrise. Fortsatte med Sek. 2.3 om hva injektivitet, surjektivitet og bijektivitet betyr for lineære avbildninger. |
| 8/9–14/9 | 2.4–2.8 | Mandag: 2.4–2.5 Tirsdag: Brukte mesteparten av tiden på å repetere stoffet i Sek. 2.4–2.5. Vi så på et eksempel der vi fant basisrepresentasjonen av en lineær avbildning (dette er omtrent Oppg. 2.5.10). Torsdag: Sek. 2.6–2.8. Vi tok for oss basisskiftematriser, og så eksempler på hvordan man regner ut disse. Vi definerte determinanter for lineære operatorer. Vi så også på sum og direktesum av underrom V, W av et vektorrom U, og så en rekke ekvivalente betingelser for at summen og direktesummen av disse er "like" (isomorfe). Vi avsluttet med en illustrasjon fra differensialgeometri. |
| 15/9–21/9 | 3.1–3.3 | Mandag: Sek 3.1. Vi introduserte normer og så mange forskjellige eksempler på disse. Vi beviste at maksimumsnormen (\(\ell^\infty\)-normen) er en norm på \(\mathbb{R}^n\). Vi beviste også den omvendte trekantulikheten. Til slutt så vi på \(L^p\)-normene på vektorrommet \(C^0([0,1],\mathbb{R})\) av kontinuerlige funksjoner fra [0,1] til \(\mathbb{R}\). Tirsdag: Sek 3.2. Vi definerte konvergens, og vi så et eksempel på en følge av funksjoner som konvergerer i \(L^1\)-normen, men ikke i \(L^\infty\)-normen (supremumsnormen). Torsdag: Sek. 3.3. Vi begynte med å vise at en mengde er lukket hvis og bare hvis dens komplement er åpen. Vi definerte så kontinuitet og Lipschitz-kontinuitet, og vi så at kontinuitet er ekvivalent med å "bevare konvergens". Vi studerte så kontinuitet for lineære avbildninger, og beviste (deler av) et viktig teorem om nettopp dette. Vi avsluttet så med \(\ell^p\)-rommene og -normene, og så at "høyre-skift-operatoren" er en kontinuerlig lineær avbildning. |
| 22/9–28/9 | 3.4–3.5 | Mandag: Vi definerte hva det vil si for to normer å være ekvivalente, og så et par eksempler. Vi beviste så et teknisk lemma som lot oss bevise at alle normer på endeligdimensjonale vektorrom er ekvivalente (3.4.7), og at alle lineære avbildninger på endeligdimensjonale vektorrom er kontinuerlige. Tirsdag: Viser ekstremalverdisetningen. Torsdag: 3.5 |
| 29/9–5/10 | 4.1–4.3 | Mandag: Sek. 4.1–4.2 Tirsdag: INGEN FORELESNING Torsdag: 4.2–4.3 |
| 6/10–12/10 | 4.4–4.7 | Mandag: Sek. 4.5 (vi stokker litt om på rekkefølgen her). Vi definerte hva en projeksjon er, og vi utledet hvordan en ortogonalprojeksjon må se ut. Ved hjelp av ortogonalkomplementer, fant vi bl.a. ut at ortogonalprojeksjonen er unikt bestemt av underrommet. Tirsdag: Vi tok for oss Gram–Schmidt-ortogonalisering og gjorde et eksempel. Dette er Sek. 4.4. Torsdag: Sek. 4.6–4.7. Vi beviste Riesz' representasjonsteorem og brukte dette til å vise at lineære avbildninger (mellom endeligdimensjonale indreproduktrom) har en adjungert, som er en generalisering av den transponerte av en matrise (eller komplekskonjugert-transponerte, for komplekse matriser). Jeg avsluttet forelesningen med en rekke utsagn om den adjungerte, blant annet utsagnet dim(ker(T*)) = dim(ker(T)), men dette siste utsagnet er feil! Derimot fungerer ideen i "beviset" jeg ga for utsagnet dim(im(T*)) = dim(im(T)). |
| 13/10–19/10 | 4.8–4.11 | Mandag og tirsdag: Seksjon 4.8–4.10 omhandler tre forskjellige egenskaper ved lineære operatorer (lineære avbildninger fra et rom inn i seg selv) som sier noe om dens adjungerte: Normale, selvadjungerte og unitære operatorer. Med disse egenskapene kan vi utlede flere andre egenskaper om bl.a. kjernen og bildet til operatoren. Vi skal bruke alt dette i kap. 5. Istedenfor å pugge alle resultatene her, bør du prøve å bevise dem på egen hånd – det vil gi deg god trening i grunnleggende konsepter som indreprodukter, normer, adjungerte, kjerne og bilde. Torsdag: Vi gikk gjennom Sek. 4.11, om triangulære matriser, LU-faktorisering og QR-faktorisering. |
| 20/10–26/10 | 5.1–5.4 | Mandag: Vi begynte med et langt eksempel med en 2x2-matrise, og så noen av hovedkonseptene i kapittel 5: Egenverdier, egenvektorer, karakteristisk polynom, diagonalisering, og konsekvenser av diagonalisering. Vi tok så for oss Sek. 5.1 og deler av 5.2. Tirsdag: Vi fortsatte med Sek. 5.2, og viste spesielt at selvadjungerte operatorer kun har reelle egenverdier. Torsdag: Sek. 5.3–5.4. Vi tok for oss diagonaliserbarhet: En matrise er diagonaliserbar om den har n lineært uavhengige egenvektorer. Isåfall kan den dekomponeres som A = RDR -1 , der D er en diagonalmatrise. Dette har en naturlig oversettelse til lineære operatorer. Vi begynte så med anvendelser av diagonalisering, og så på matriseeksponenter, inversmatriser, differensligninger, markovkjeder, sannsynlighetsfordelinger, overgangsmatriser, og langtidsoppførselen til markovkjeder. Vi så spesielt på eksempler fra demografi, kredittvurderingsbyråer, og Googles søkemotor. |
| 27/10–2/11 | 5.4–5.6 | Mandag: Vi så videre på Pagerank og hvordan denne kan brukes for å rangere nettsider i et enkelt eksempel. Vi gikk videre til lineære differensialligninger, og utledet løsningen ved hjelp av matriseeksponensialfunksjonen. Dette er Sek. 5.4. Tirsdag: Vi beviste Spektralteoremet for normale operatorer på komplekse indreproduktrom (Sek. 5.5). Torsdag: Vi fullførte Sek. 5.5 (spektralteoremet for symmetriske, reelle operatorer, og spetralteoremet for komplekse normale/reelle symmetriske matriser). Vi begynte så på Sek. 5.6. |
| 3/11–9/11 | 5.6–5.7 | Vi definerte singulærverdidekomposisjon (SVD) av lineære avbildninger og matriser, og beviste at en SVD alltid finnes. Vi så også en algoritme for å beregne SVD, og så eksempler på denne. Vi definerte også den reduserte SVD-en av en matrise, som ser bort fra kolonnevektorer som ganges med null-singulærverdier. Vi så på noen teoretiske egenskaper man kan lese ut av SVD-en (dimensjonen til kjernen og bildet; ortonormale basiser for kjernen og bildet), før vi tok for oss flere anvendelser: Beregne operatornormen, løse over- og underbestemte systemer, lavrangsapproksimasjon, prinsipalkomponentanalyse, og bildekompresjon. |
| 10/11–16/11 | 6.1–6.3 | Vi motiverte fourierrekker med lyd generert som en lineærkombinasjon av sinus- (eller cosinus-)bølger. Vi konsentrerer oss om 2𝜋-periodiske funksjoner, som kan ses på som funksjoner på torusen/sirkelen. Mengden av kontinuerlige funksjoner på sirkelen er et vektorrom, og et naturlig indreprodukt på dette rommet er L2-indreproduktet. Komplekseksponensialene ek blir ortonormale i dette indreproduktet. På torsdag viste vi at alle kontinuerlige funksjoner kan approksimeres med trigonometriske polynomer i supremumsnormen. |
| 17/11–23/11 | 6.4–6.5 | Mandag: Vi så på sammenhengen mellom L2 -konvergens og supremumsnormkonvergens, og så at det siste impliserer det første, men ikke motsatt. Vi beviste det første hovedteoremet i kapittel 6: Fourierrekken konvergerer i L2 -norm for kontinuerlige funksjoner. Vi begynte så å se på ekstrabetingelser som garanterer uniform konvergens. Som et moteksempel så vi (numerisk) at fourierrekken til "square sine function" ikke konvergerer uniformt (se Tirsdag: Ingen forelesning Torsdag: |
| 24/11–30/11 |